DEUXIÈME PARTIE. Stf

24 cVun quart, et qu’ainsi il faut que le nombre oherché surpasse 64 d’un quart : ce qui donne 80. Mais il y a des cas où l’on pourrait chercher plus longtemps le rapport des deux premiers nombres de la proportion.

Par exemple, on veut un quatrième terme proportionnel aux trois nombres 259 , 407 et 483.

Pour le trouver par la méthode précédente, il faut multiplier 483 par 407, et diviser 196581 , qui en est le produit, par 259 ; ce qui donne 759 pour le quatrième terme cherché.

Si l’on s’y était pris autrement pour trouver ce terme, ce n’aurait pu être qu’en tâtonnant. On aurait bien pu découvrir, par exemple, que 148, excès de 407 sur 259, contient quatre des septièmes parties de 259 ; qu’ainsi il fallait ajouter de même à 483 le nombre 276, qui contient quatre de ses septièmes parties. Mais la généralité et la sûreté de la méthode précédente nous sauvent toujours de l’embarras des tâtonnements, qui même deviendraient inutiles dans bien des cas.

Manière d’additionner deux carrés.

Lorsqu’on aura deux carrés à ajouter, leur addition se fera de la même manière que celle de deux rectangles , puisque les carrés sont des rectangles dont la hauteur et la base sont égales. On changera donc un des carrés, le plus petit par exemple, en un rectangle qui aura le côté du grand pour hauteur, et les deux carrés ne feront plus qu'un rectangle. On pourrait donner de même la hauteur du petit carré à tous les deux , ou une autre hauteur à volonté; mais ce qu’on ne pouvait guère manquer de se proposer, lorsqu’on a voulu réduire ainsi deux carrés en une seule figure , c’était de faire un carré équivalent à deux autres, problème dont il était facile de trouver la solution suivante.

Faire un carré double d'un autre.

Supposons d’abord que les deux carrés ABCD et CBFE [fig. 60), dont on se propose de faire un seul carré , Fig. 60 . soient égaux entre eux. Il est facile de

AC et CF, les triangles ABC et CBF feront ensemble la valeur d’un carré :

les deux autres triangles DCA et CEF, on fera le carré ACFG, dont le côté AC sera la diagonale du carré ABCD , et dont la superficie égalera celle des deux carrés proposés; ce qui n’a pas besoin d’être démontré.

Faire un carré équivalent à deux autres pris ensemble.

Supposons qu’on veuille faire un carré équivalent à la somme des deux carrés inégaux ADCcf et CFE/ - [fig. 61), ou , ce qui revient au même, qu’on se propose de changer la figure ADFE/tf en un carré.

En suivant l’esprit de la méthode précédente, on cherchera s’il n’est point possible de trouver dans la ligne DF quelque point H, tel,

1° Que tirant les lignes AH et HE, et faisant tourner les triangles ADH et EFH autour des points A et E , jusqu’à ce qu’ils aient les positions kdh et E/A, ces deux triangles se joignent en h;

2° Que les qua|re côtés AH, HE, EA et AA soient égaux et perpendiculaires les uns aux autres.

DEUXIÈME PÀBTIE. 57

Or, ce point H se trouvera en faisant DH égal au côté CF ou EF; car de l’égalité supposée entre DH et CF, il suit premièrement que si l’on fait tourner ADH autour de son angle A , en sorte qu’on lui donne la position kdh , le point H, arrivé en A, sera distant du point C d’un intervalle égal à DF.

De la même égalité supposée entre DH et CF il suit encore que HF égalera DC , et qu’ainsi le triangle EFH tournant autour de E pour prendre la position E fh, le point H arrivera au même point h, distant de C d’un intervalle égal à DF.

Donc la figure ADFE/rZ sera changée en une ligure de quatre côtés AHEA. Il ne s’agit donc plus que de voir si les quatre côtés seront égaux et perpendiculaires les uns aux autres.

Or, l’égalité de ces quatre côtés est évidente, puisque Ah et AE seront les mêmes que AH et HE, et que l’égalité de ces deux derniers se tirera de ce que DH étant égal à CF ou à FE, les deux triangles ADH et HEF seront égaux.

Il ne reste donc plus qu’à voir si les côtés de la figure AHEA formeront des angles droits ; il est facile de s’en assurer en remarquant que, pendant que HAD tournera autour de A pour arriver en hkd , il faudra que le côté HA fasse le même mouvement que le côté AD. Or, le côté AD fera un angle droit DAd en devenant kd : donc le côté AH fera aussi un angle droit HAA en devenant AA.

Quant aux autres angles H , E et A , il est visible qu’ils seront nécessairement droits; car il ne serait pas possible qu’une figure terminée par quatre côtés égaux eût un angle droit sans que les trois autres fussent pareillement droits.

GÜOMÉTBIB.

L’hypoténuse d’un triangle rectangle est son grand Côté, et le carré de ce côté est égal à la somme des carrés faits sur les deux autres.

Si on remarque que les deux carrés ADCd et CFE/ sont faits, l’un sur AD , moyen côté du triangle ADH, l’autre sur EF égal à DH , petit côté du même triangle ADH , et que le carré AHEA , équivalent aux deux autres, est décrit sur le grand côté AH, qu’on nomme communément l’hypoténuse du triangle rectangle , on découvrira bientôt cette propriété des triangles rectangles , que le carré de l’hypoténuse est égal à la somme des carrés faits sur les deux autres côtés.

Manière simple de réduire deux carrés en un seul.

Lorsque de deux carrés DLKH et ABCD [fig. 62 et 63) on n’en voudra faire qu’un seul , il sera inutile

Fig. 64 .

de les mettre à côté l’un de l’autre et de les décomposer, comme on a fait dans le n° 1 7 ; il suffira de placer leurs côtés AD et DH ( fig. 64) de façon qu’ils fassent un angle droit, et de tirer ensuite la ligne AH , puisqu’alors cette ligne sera le côté du carré cherché AHIE.

DEUXIEME PÀBTIE.

Si les côtés d’un triangle rectangle servent de bases à trois figures semblables , la figure faite sur l'hypoténuse égalera les deux autres prises ensemble .

Si l’on avait deux figures semblables DAFGM et DHPON ( fig . 65 et 6G) , et qu’on se proposât d’en faire

Fig. 65 .

Fig. 66 .

une troisième, équivalente aux deux autres prises ensemble, il ne faudrait que poser les N bases AD et HD de ces figures sur les deux côtés d’un angle droit ADH (fig. 67), et l’hypoténuse AH du triangle ADH serait la base de la figure demandée.

En effet, supposons les carrés ABCD, DH KL et AHIE faits sur les bases des trois figures semblables; on verra d’abord , par le n° 18, que le carré AHIE vaudra lui seul les deux autres carrés ABCD et DHKL. Or, les figures semblables sont entre elles comme les carrés de leurs côtés homologues (l re partie, n° 47) ; donc les trois carrés ABCD, DHKL et AHIE se trouveront les mêmes parties des figures DAFGM , DHPON et AHQRS.

D’où il sera facile de conclure que la figure AHQBS vaudra les deux autres. Supposons, par exemple, que chacun de ces carrés fût la moitié de la figure dans la-

60 * GÉOMÉTKIE.

quelle il serait renfermé, personne ne douterait que la figure AHQRS ne fût équivalente aux deux autres, puisque sa moitié vaudra seule les moitiés des deux figures DHPON et DAFGM. Il en serait de même si les carrés ABCD, DHKL et AHIE étaient les deux tiers, les trois quarts, etc., des figures DAFGM, DHPON et AHQRS.

Réduire plusieurs figures semblables à une seule.

Si l’on se proposait d’ajouter trois, quatre, etc., figures semblables, ou, ce qui revient au même, trois, quatre, etc., carrés, la méthode serait toujours la même. Par exemple, pour ajouter trois carrés, on ferait d’abord un carré égal aux deux premiers; ensuite, à ce nouveau carré on ajouterait le troisième, et par là ou aurait un carré égal aux trois carrés proposés.

Construire un carré cinq, six fois plus grand ou plus petit qu’un autre.

Si l’on se proposait de faire un carré cinq , six , etc., fois plus grand qu’un autre , il suflirait de suivre la méthode précédente pour résoudre ce problème, et même son inverse, c’est-à-dire pour faire un carré qui ne serait que la cinquième, la sixième, etc., partie d’un carré proposé ; ce qui demanderait simplement qu’on se rappelât la manière de trouver une quatrième proportionnelle à trois lignes données. Mais, dans la troisième partie de cet ouvrage, nous donnerons une méthode plus directe et plus commode pour résoudre ces sortes de problèmes.

DEUXIÈME PABTIE.

Le produit qui résulte de la multiplication d’un nombre par lui-même est le carré de ce nombre. La racine d'un carré est le nombre qui , multiplié par luimême, donne le carré.

L’addition des figures semblables fournit une preuve décisive de la nécessité d’abandonner les échelles, quand on veut faire les opérations d’une manière qui puisse se démontrer rigoureusement.

Supposons, par exemple, qu’on eût à faire un carré double d’un autre; ceux qui ne sauraient pas la méthode donnée dans le n° 16 s’y prendraient vraisemblablement de la manière suivante :

lis diviseraient le côté du carré donné en un grand nombre de parties , en 1 00 parties par exemple; ensuite , multipliant 100 par 100, ils trouveraient 10000 pour la valeur du carré : ce qui donnerait 20000 pour celle du carré demandé.

Mais de la valeur de celui-ci ils ne tireraient pas la manière de le décrire ; il faudrait qu’ils eussent son côté exprimé par un nombre, et que ce nombre fût tel, qu’en le multipliant par lui-même , c’est-à-dire en l’élevant au carré , le produit donnât 20000.

Or, ce nombre dont ils auraient besoin , ce serait en vain qu’ils le chercheraient sur une échelle dont les parties seraient des centièmes du côté du premier carré , car 141 , multiplié par lui-même, donnerait 19881 , et 142 donnerait 20164; ce qui s’écarterait de part et d’autre du nombre qu’ils devraient trouver.

Peut-être s’imagineraient-ils qu’en partageant le côté du carré donné en plus de 100 parties, ils trouveraient un nombre déterminé de ces parties pour le côté du carré double du premier; mais, quelques essais qu’ils pussent faire, ils trouveraient toujours que ce serait eu

GÉOMÉTBIE.

vain qu’ils chercheraient deux nombres dont un exprimerait le côté , ou , suivant le langage ordinaire, la racine d’un carré, et l’autre, le côté ou la racine du carré double.

Un nombre est multiple d’un autre lorsqu’il le contient plusieurs fois exactement. Le côté d'un carré et sa diagonale sont incommensurables.

En effet , on démontre, en arithmétique, que si deux nombres ne sont pas multiples l’un de l’autre, c’est-àdire si l’un ne contient pas l’autre un nombre exact de fois, le carré du plus grand ne sera pas non plus multiple du carré du plus petit. Ainsi 5, par exemple, ne pouvant pas se diviser exactement par 4 , son carré 25 ne pourra pas non plus se diviser par 16, carré de 4.

Donc , si l’on élève au carré deux nombres dont l’un soit plus grand que l’autre, et en soit cependant moins que le double, il viendra, par cette opération, deux autres nombres , dont l’un sera moindre que le quadruple de l’autre, mais sans en pouvoir être ni le double ni le triple. Donc, qu’on divise le côté d’un carré en tel nombre de parties qu’on voudra, le côté du carré double, qui, suivant ce qui est démontré dans le n° 16, sera la diagonale de ce carré , ne contiendra pas un nombre exact de ces mêmes parties; ce qu’on exprimerait dans le langage des géomètres en disant que le côté du carré et sa diagonale sont incommensurables.

Autres lignes incommensurables.

Ou peut encore remarquer qu’il y a quantité d’autres lignes qui n’ont aucune commune mesure.

DEUXIÈME PABTIE.

Car, qu’on écrive les deux suites

1,2,3, 4, 5, 6, 7 , 8, 9, etc.,

1 , 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 8t , etc.,

dont la première exprime les nombres naturels et l’autre leurs carrés, on verra que, comme les nombres qui seront entre 4 et 9, entre 9 et 16, entre 16 et 25, etc., n’auront aucune racine, les côtés des deux carrés, dont l’un sera ou triple, ou quintuple, ou sextuple, etc., de l’autre, seront incommensurables entre eux.

Comparaison des figures semblables dont les côtés homologues sont incommensurables.

De ce que plusieurs lignes sont incommensurables avec d’autres , peut-être pourrait-il naître quelque soupçon sur l’exactitude des propositions qui nous ont servi à constater la proportionnalité des figures semblables. On a vu qu’en comparant ces figures (I re part., 3 4 et suiv. ) , nous avons toujours supposé qu’elles avaient une échelle qui pouvait également servir à mesurer toutes leurs parties : supposition qui maintenant paraîtrait devoir être limitée par ce qui vient d’être dit. Il faut donc que nous revenions sur nos pas , et que nous examinions si nos propositions, pour être vraies, n’auraient pas elles-mêmes besoin de quelques modifications.

Les triangles et les figures semblables ont leurs côtés proportionnels, lors même que ces côtés sont incommensurables.

Reprenons d’abord ce qui est dit dans le n° 39 de la première partie, et voyons s’il est vrai que les triangles,

tels que abc et ABC l Jig. 68 et 69), dont les angles sont les mêmes, aient leurs côtés proportionnels. Supposons, par exemple, que la base du premier étant ab , celle du second soit une droite AB égale à la diagonale d’un carré dont ab serait le côté, et cherchons si, dans cette supposition , le rapport de AC à ac sera le même que celui de AB à ab.

Quoique, suivant ce que nous avons vu , quelque grand que pût être le nombre des parties qu’on supposerait arbitrairement dans ab , AB ne pourrait jamais con-

K “h® tenir un nom ^ re exact de ces parties, il

est cependant facile de s’apercevoir que plus ce nombre sera grand , plus AB ap-

| prochera d’être mesuré exactement avec

^ les parties de ab. Supposons ab divisé en 100 parties , ce que AB contiendra de ces parties se trouvera entre 141 et 142 (n° 23). Contentons-nous de 14 1, et négligeons le petit reste il est clair (I re part., 39) que AC contiendra aussi 141 des parties de ac.

Supposons ensuite ab divisé en 1000 parties; ce que AB contiendra des parties de ab sera entre 1 4 1 4 et 1415. Ne prenons que 1414 , et négligeons encore le reste; on trouvera de même que AC contiendra 1414 des millièmes parties de ac , et qu’cn général AC contiendra toujours autant de parties de ac, avec un reste, que AB contiendra de parties de ab , avec un reste.

Ces restes seront de part et d’autre d’autant plus petits, que le nombre des parties de ab sera plus grand : donc il sera permis de les négliger si l’on imagine la division de ab poussée jusqu’à l’infini ; donc ou pourra dire alors que le nombre des parties de ac que contiendra AC égalera le nombre des parties de ab que contiendra AB, et qu’ainsi AC sera à ac comme AB est à ab.

Donc nous avons rigoureusement démontré que lors-

Fig . 68.

Fig. G9.

DEUXIÈME PABTIE. 65

que deux triangles ont les mêmes angles , ils ont leurs côtés proportionnels, soit que leurs côtés aient une commune mesure , ou qu’ils n’en aient pas.

La proposition (I re part., 45) d'où se tire la proportionnalité des lignes qui se répondent dans les figures semblables, se justifierait de la même façon.

Les figures semblables sont toujours entre elles comme les carrés de leurs côtés homologues.

On verra par de pareils raisonnements que les propositions expliquées dans les n°’ 44 et 47 de la première partie, où l’on a fait voir que les aires des triangles et des figures semblables ont entre elles la même proportion que les carrés de leurs côtés homologues , sont toujours vraies en général , même lorsque les côtés de ces figures sont incommensurables.

Prenons pour exemple les triangles semblables ABC , abc [fig. 68 et 69), dont nous supposerons les hauteurs incommensurablis avec leurs bases. Dans ce cas, il n’y aura aucun carré, quelque petit qu’il soit, qui puisse servir de commune mesure à ces triangles et aux carrés faits sur leurs bases, c’est-à-dire que les aires abc et abde seront incommensurables entre elles, ainsi que les aires ABC et ABDE; mais il n’en sera pas moins vrai que le triangle ABC sera au carré ABDE comme le triangle abc est au carré abde.

On s’en assurera en remarquant que plus les parties de l’échelle dont on se servira pour mesurer AB et KC seront supposées petites, plus on approchera d’avoir les nombres qui exprimeront le rapport de ABC à ABDE; donc divisant toujours l’échelle du triangle abc dans le même nombre de parties , et négligeant les restes, on verra que les mêmes nombres serviraient toujours à

GÉOMBTBTE.

exprimer le rapport du triangle ABC au carré. ABDE, et celui du triangle abc au carré abde. Qu’on pousse, par la pensée , la division des échelles jusqu’à l’infini , les restes deviendront absolument uuls, et l’on pourra dire que les nombres qui exprimeraient le rapport du triangle abc au carré abde exprimeraient aussi le rapport du triangle ABC au carré ABDE , et qu’ainsi le triangle abc sera au carré abde comme le triangle ABC est au carré ABDE.

Il en serait de même de toutes les figures semblables.