MESURE ET PROPRIETES DES FIGURES CIRCULAIRES

Après être parvenu à mesurer toutes sortes de figures rectilignes, on a voulu avoir la manière de déterminer celles que bornent des lignes courbes. Les terrains, et en général les espaces dont il s’agit de chercher la mesure, ne sont pas toujours terminés par des lignes droites.

Souvent les figures curvilignes et les figures mixtes , c’est-à-dire celles qui sont bornées par des lignes droites et par des lignes courbes, peuvent se réduire à des figures entièrement rectilignes, comme nous l’avons déjà dit; car qu’on eût à mesurer une figure telle que

Fig. 70 .

ABCDEFG (fig. 70), on pourrait prendre le côté AD pour un assemblage de deux, de trois, etc., lignes droites. Substituant ensuite la droite FD à la courbe FED, on au- ^ rait la figure rectiligne ABCDEFG , -g G qui différerait si peu de la figure mixte , que l’une pourrait être prise pour l’autre sans erreur sensible.

On opérerait donc sur ces figures en suivant les méthodes précédentes. Mais les géomètres ne s’accommoderaient guère de ces sortes d’opérations; ils n’en veulent que de rigoureuses. D’ailleurs, il y a tel cas où la transformation d’une figure curviligne ou mixte en une figure entièrement rectiligne demanderait qu’on partageât son contour en un si grand nombre de parties, qu’alors la méthode commune deviendrait impraticable. Aussi ne serait-on pas tenté de la suivre , si l’on avait à

68 GÉOMETBIE.

mesurer un espace tel que Y , ou le cercle entier X [fig. 7 1 et 72); il faudrait prendre une autre voie pour trouver la mesure de ces sortes d’espaces. Ici , nous ne nous attacherons qu’à ceux dont les contours renferment de* arcs de cercle.

Fig. 71 . Fig. 72 .

La mesure du cercle est le produit de sa circonférence par la moitié de son rayon.

Supposons d’abord qu’on ait l’aire du cercle X [fig. 72) à mesurer. On remarquera qu’en lui inscrivant un polygone régulier BCDE..., plus ce polygone aura de côtés, plus il approchera d’être égal au cercle. Or, on a vu que l’aire d’un polygone (I re part., 22) est égale à autant de fois le produit du côté BC par la moitié de l’apothème AH, que le polygone a de côtés; ou, ce qui revient au même, que cette aire a pour mesure le produit du contour entier ou périmètre BCDE..., par la moitié de l’apothème : donc , puisqu’en poussant jusqu’à l’infini le nombre des côtés du polygone, son aire, son contour et son apothème égaleront l’aire , le contour et le rayon du cercle , la mesure du cercle sera le produit de sa circonférence par la moitié de son rayon.

THOISIÈME PABTIE.

L’aire du cercle est égale à un triangle dont la hauteur est le rayon et la base une droite égale à la circonférence.

Du numéro précédent il résulte que la superficie d’un cercle BCD ( fig . 73) est égale à celle d’un triangle ABL, dont la hauteur serait le rayon AB et la base une droite BL égale à la circonférence.

Fig. 73 .

On ne peut mesurer exactement une circonférence.

Pour mesurer l’aire d’un cercle, il suffit donc d'avoir le rayon et la circonférence. Il est facile de mesurer le rayon; il n’en est pas de même de la circonférence. Cependant, pour avoir sa mesure, on peut envelopper le cercle d’un fil , ce qui , dans beaucoup d’occasions , suffit pour la pratique.

Mais, jusqu’à présent , on n’a pu parvenir à mesurer géométriquement la circonférence du cercle, c’est-à-dire à déterminer exactement le rapport qu’elle a avec le rayon. On trouve ce rapport à des cent-millièmes, à des millionièmes près , et même on en approche tant qu’on veut, sans que pour cela on puisse le déterminer rigoureusement.

Quand le diamètre d’un cercle a 7 parties, la circonr férencc en a près de 22.

L’approximation la plus simple qu’on ait trouvée est

70 GtSoMéTBlK.

celle qu’on tient d’Archimède. Le diamètre ayant 7 parties, ce que la circonférence contient de ces parties est entre 2 1 et 72; et l’on sait qu’elle approche beaucoup plus de 22 que de 21.

Les circonférences des cercles sont entre elles comme leurs rayons.

Au reste, il est clair que si l’on savait exactement le rapport d’une seule circonférence à son rayon , on saurait celui de toutes les autres circonférences à leurs rayons, ce rapport devant être le même dans tous les cercles. Cette proposition paraît si simple , qu’elle n’a pas besoin d’être démontrée, puisqu’on sent que, quelles que fussent les opérations qu’on aurait faites pour mesurer une circonférence en se servant des parties de son rayon , il faudrait qu’on fît les mêmes opérations pour mesurer toute autre circonférence; qu’ainsi on lui trouverait le même nombre de parties de son rayon.

Les aires des cercles sont en raison directe des carrés des rayons.

Il est évident que les cercles ont encore la propriété générale de toutes les figures semblables (pe part., 47 ) : je veux dire que leurs surfaces sont en même proportion que les carrés de leurs côtés homologues; mais comme, pour appliquer cette proposition aux cercles, on ne pourra prendre leurs côtés , il faudra se servir des rayons : alors on verra que les cercles auront leurs aires proportionnelles aux carrés de leurs rayons.

S’il ne paraissait pas d’abord que cette proposition dût suivre de ce qui est dit dans le n° 47 de la pre-

TROISIÈME PÀBTIE. 71

mière partie , et qu’on voulût en avoir une démonstration particulière, on ferait attention qu’il reviendrait absolument au même de comparer les aires de deux cercles BCD ( fig . 73) et EFG ( fig . 74), ou celles des Fig. 74 . triangles ABL et AEM qui

leur seraient égaux (n° 2 ), en supposant que leurs bases BL et EM fussent les développements des circonférences BCD et EFG, et que leurs hauteurs fussent les rayons AB et AE. Or, par le numéro précédent, ces triangles seraient semblables : donc leurs aires seraient en même proportion que les carrés de leurs côtés homologues AB et AE, rayons des cercles BCD et EFG ; donc, etc.

Des trois cercles qui ont pour rayons les trois côtés d’un triangle rectangle, celui que donne l’hypoténuse vaut les deux autres pris ensemble.

Les cercles, à cause de leur similitude , auront aussi, de même que les figures semblables, cette propriété, que si , eu prenant les trois côtés d’un triangle rectangle pour rayons, on décrit trois cercles, celui dont le rayon sera l’hypoténuse égalera les deux autres pris ensemble.

Ainsi , on pourra toujours trouver un cercle égal à deux cercles donnés , et cela sans prendre la peine de mesurer chacun de ces cercles. Qu’on veuille, par exemple, faire un bassin qui contienne autant d'eau que deux autres, la profondeur étant la même; qu’on veuille trouver l’ouverture d’un tuyau de fontaiue par lequel il s’écoule autant d’eau que par deux tuyaux donnés, on y réussira sans peine eu prenant la voie que nous venons d’indiquer.

GÉOMÉTBIE.

Une couronne est l’espace enfermé entre deux cercles concentriques.

Si l’on avait à mesurer la superficie d’une couronne Y {fg. 75), figure enfermée entre deux cercles eoncen-

Fig. 75 .

triques EFG et BCD, c’est-à-dire entre deux cercles qui auraient un centre commun, ce qui se présenterait d’abord, ce serait de mesurer séparément les superficies des deux cercles et de retrancher la plus petite de la plus grande. Mais il est facile de s’apercevoir que le problème peut se résoudre d’une manière plus commode pour la pratique.

Imaginons un triangle ABL qui ait le rayon AB pour hauteur, et dont la base soit une droite BL égale à la circonférence BCD. Si l’on mène par le point E la droite EM, parallèle à BL, cette droite sera égale à la circonférence EFG ; car, à cause de la similitude des triangles AEM et ABL, il y aura même rapport entre AB et BL qu’entre AE et EM. Or, par la supposition, BL égalera la circonférence dont AB sera le rayon : donc EM égalera aussi la circonférence qui aura pour rayon la ligne AE, partie de AB. Il en serait de même de toute autre ligne Kl parallèle à BL ; elle serait toujours égale à la circonférence dont AK serait le rayon.

De l’égalité supposée entre la circonférence EFG et la droite EM suit nécessairement l’égalité du triangle AEM au cercle EFG: donc il faut que l’espace rectiligne EBLM