TROISIEME PARTIE

Choisissant ensuite un troisième point C sur l’arc ABC, et se servant de B et de C de ia même manière <ju on s est servi de A et de B, on aura une droite qr, sur laquelle devra encore se trouver le centre demandé* donc ce centre sera le point de rencontre T des lignes cp et qr.

Par trois points non en ligne droite on peut toujours faire passer un arc de cercle, et par conséquent on peut toujours circonscrire un cercle à un triangle.

Ainsi, quelque arrangement qu’on donne à trois

Fig. 79.

points, pourvu qu’on ne les place pas en ligne droite, on pourra toujours les lier par un arc de cercle, ou, ce qui revient au même, quelle que soit la proportion des côtés AC [ftg. 79) et BC d’uu triangle ACB avec sa base, on pourra toujours circonscrire un cercle à ce triangle.

Si d’un point quelconque de la circonférence d'un •demi-cercle on tire deux droites aux extrémités du diamètre, on aura un angle droit.

Fig. 80.

La méthode que nous venons de donner pour circonscrire un cercle à un triangle étant appliquée successivement à différents triangles ACB, AEB et AGB (fig. 80), plus ou moins élevés à l’égard de leur base AB, on s’aperçoit qu’en passant d’un triangle ACB, dont l’angle au sommet est fort aigu , à d’autres triangles AEB et AGB , dont l'angle au sommet est plus

ouvert, le centre du cercle circonscrit s’approche continuellement de AB, et que ce centre passe ensuite audessous de AB lorsque l’angle au sommet AGB a atteint une certaine ouverture. Or, voyant passer ce centre audessous de AB, après l’avoir vu au-dessus, il doit venir dans l’esprit de chercher de quelle espèce est le triangle AFB ( fig . 81 ), lorsque le cercle circonscrit a son centre

Pour connaître ce triangle AFB, on commencera par remarquer que, dans ce cas particulier , la portion du cercle circonscrite au triangle doit être exactement un demi-cercle. En effet, le centre du cercle devant se trouver sur la base AB, dont les deux extrémités sont, parla supposition, dans la circonférence, le centre M ne pourra pas manquer d’être situé précisément au milieu de AB, de sorte que AB sera nécessairement un diamètre.

On verra ensuite, que, de quelque point F du demicercle qu'on tire les lignes FA et FB, l’angle AFB sera droit; car menant FM, les deux triangles AFM et MFB seront isocèles : donc les deux angles AFM et MFB seront respectivement égaux aux angles FAM et FBM , ou , ce qui revient au même, l’angle total AFB égalera la somme des deux angles FAM et FBM; mais les trois angles AFB, FAM et FBM, pris ensemble, valent deux droits : donc l’angle AFB sera droit.

Ainsi, si l’on décrit sur la base AB un triangle rectangle quelconque , ce triangle aura la propriété demandée d’ètre inscrit dans un cercle dont le centre est sur la base.

sur AB même.

Fig. si.