TROISIÈME PARTIE

Tout angle inscrit, c'est-à-dire qui a le sommet sur la circonférence, a pour mesure la moitié de l'arc compris entre ses côtés. . *

Cette propriété du cercle , que l’angle qui a son sommet dans la demi-circonférence et qui est appuyé sur le diamètre est toujours droit, porte à chercher si les autres parties du cercle n’auraient pas quelque propriété analogue; si, par exemple, les angles ACB, AEB et AFB (fig. 82), pris dans un segment ACEFB, ne seraient pas tous égaux entre eux, ainsi que le sont ceux du demi-cercle.

Pour nous en assurer, nous commencerons par chercher la valeur d’un de ces angles, et nous verrons ensuite si les autres ont la même valeur.

Nous prendrons, par exemple, l’angle AEB (fig. 83) , dont le sommet E est placé au milieu de l’arc AEB. Comme la ligne EDG, qui passe par le centre D, coupe cet angle en deux parties égales, il suffira de mesurer l’angle AEG sa moitié, ou, ce qui revient au même, il suffira de savoir quelle partie l’angle AEG est d’un angle déjà mesuré , tel que ADG. Je dis que l’angle ADG est déjà mesuré , parce que nous savons que l’arc AG est sa

mesure (l re part., 52).

Si l’on fait attention que le triangle AED est isocèle, on verra facilement que l’angle AEG est la moitié de l’angle ADG ; car les angles AED et EAD (D* part., Si ) sont égaux. Mais (I re part., 67) ces deux angles, pris

GÉOMÉTBIS.

ensemble, valent l’angle extérieur ADG : donc l’angle AED ou AEG est la moitié de l’angle ADG.

Par la même raison, l’angle DEB sera la moitié de l’angle GDB : donc l’angle total AEB égalera la moitié de l’angle ADB; donc sa mesure sera la moitié de l’arc AGB.

Tous les angles dont le sommet est à la circonférence et qui s’appuient sur le même arc, sont égaux , et ont pour commune mesure la moitié de l'arc sur lequel ils s'appuient.

L’angle AEB étant mesuré, pour savoir s’il est égal à chacun des autres angles qui ont leur sommet dans le Fig. 84. même segment, il faut examiner si un de ces angles pris à volonté, AFB ( fig . 84) par exemple, est aussi la moitié de l’angle au centre ADB. On s’en assurera facilement en tirant la droite FDG par le centre , car alors on verra que l’angle AFB sera composé de deux autres AFD et DFB, qui seront, par le numéro précédent, les moitiés des angles ADG et GDB; d’où l’on conclura que l’angle total AFB sera la moitié de l’angle ADB; et en appliquant le même raisonnement à tous les angles ACB, AEB et AFB [fig. 82), qui ont leurs sommets à la circonférence , et qui s’appuient sur le même arc AGB , on pourra conclure que ces angles sont égaux entre eux, ainsi que nous l’avions soupçonné dans le numéro précédent.

TROISIÈME PA.RTIE.

La mesure de l'angle inscrit est encore la moitié de l’arc compris entre ses côtés, lorsque le diamètre mené par le sommet tombe hors de l'angle.

Parmi les différents angles qui ont leur sommet dans l’arc ACEFB {fig. 82), il y en a qui pourraient d’abord ne Fig. 85 . pas paraître compris dans la dé-

monstration précédente : ce sont des angles AEB {fig. 85) tels , que la droite EDG , tirée par le centre, passe hors de l’angle ADB. Cependant , en remarquant toujours que l’angle DEA est la moitié de l’angle GDA , et l’angle DEB la moitié de l’angle GDB, on verra que l’angle AEB, excès de l’angle DEB sur l’angle DEA, sera, dans ce cas, la moitié de l’angle ADB, excès de l’angle GDB sur GDA.

L’angle inscrit dans un segment plus petit qu’un demi-cercle a pour mesure la moitié de l’arc compris entre ses côtés.

Par les figures dont nous nous sommes servis, il & semblerait aussi que la démonstration précédente ne conviendrait qu’aux segments plus grands qu’un demi-cercle; mais il est facile de voir qu’un angle quelconque, tel que AFB {fig. 86), qui aurait son sommet dans un segment plus petit qu’un demi-cercle, serait toujours composé de deux autres DFB et DF A, moitiés des angles BDG et ADG; et par conséquent, que cet angle AFB

Fig. 86 .

aurait pour mesure la moitié des deux arcs BG et AG, e’est-à-dire la moitié de l’arc AGB.

La tangente au cercle est la ligne qui ne le touche qu’en un point. L’angle au segment est celui qui est f ait par la corde et par la tangente. Sa mesure est la moitié de l’arc du segment.

Après avoir vu que dans un même segment les angles AEB, AFB et AHB [fig. 87 ), supposés à la circonférence, sont tous égaux , on est tenté de chercher ce que devient l’angle AQB lorsque son sommet se confond avec le point B, extrémité de la base AB. Cet angle s’évanouirait-il alors? Mais il ne paraît pas possible que, sans s’être resserré par degrés , il vienne tout à coup à s’anéantir. On ne voit pas quel serait le point au delà duquel cet angle cesserait d’exister; comment donc parviendra-t-on à en trouver la mesure? c’est une difficulté qu’on ne peut résoudre sans recourir à la géométrie de l’infini, dont tous les hommes ont au moins une idée imparfaite qu’il ne s'agit que de développer.

Observons d’abord que quand ie point E s’approche de B, en devenant F, H, Q, etc., la droite EB diminue continuellement, et que l’angle EBA qu’elle fait avec la droite AB augmente de plus en plus. Mais, quelque courte que devienne la ligne QB , l’angle QBA n’en sera pas moins un angle , puisque pour le rendre sensible il ne faudrait que prolonger la ligne diminuée QB vers R. En doit-il être de même lorsque la ligne QB, à force de diminuer, s’est réduite enfin à zéro? qu’est devenue alors sa position? qu’est devenu son prolongement?