TROISIÈME PARTIE

Il est évident qu’il n’est autre chose que la droite BS qui touche le cercle en un seul point B, sans le rencontrer en aucun autre endroit, et que, pour cette raison, on appelle tangente.

De plus, il est clair que pendant que la ligne EB diminue continuellement jusqu’à s’anéantir à la fin , la droite AE , qui devient successivement AF , AH et AQ, etc., s’approche toujours de AB, et qu’elle se confond enfin avec elle : donc l’angle à la circonférence AEB, après être devenu AFB, AHB et AQB, devient en dernier lieu l’angle ABS , fait par la corde AB et par la tangente BS ; et cet angle , qu’on appelle angle au segment, doit toujours conserver la propriété d’avoir pour mesure la moitié de l’arc AGB.

Quoique cette démonstration soit peut-être un peu abstraite pour les commençants, j’ai cru à propos de la donner, parce qu’il sera très-utile à ceux qui voudront pousser leurs études jusqu’à la géométrie de l’infini de s’être accoutumés de bonne heure à de pareilles considérations.

Si cependant les commençants trouvaient cette démonstration au-dessus de leurs forces , il est aisé de les mettre à portée d’en découvrir une autre en leur expliquant la principale propriété des tangentes.

La tangente est perpendiculaire au diamètre qui passe par le point de contact.

Fig. 88 .

Cette propriété est qu’une tangente au cercle dans un point quelconque B [fig. 88) doit être perpendiculaire au diamètre IDB, qui passe par ce point; car comme la courbure du cercle est si uniforme qu’un diamètre quelconque IDB le partage en deux demi-cercles IAB

83 GÉ0MKTB1E.

et IOB, égaux et également situés à l’égard de ce diamètre, il faut que les deux parties BS et BH de la tangente commune à ces deux demi-cercles soient aussi également situées à l’égard de ce diamètre. Or, cela ne saurait être sans que IDB ne soit perpendiculaire à la tangente H BS.

L'angle formé par une corde et une tangente a pour mesure la moitié de l'arc intercepté par ses côtés.

De ce qui précède on verra facilement pourquoi l’angle au segment ABS ( fig. 88) a pour mesure la moitié de l’arc AGB.

Car l'angle ADB , joint avec les deux angles égaux DAB et DBA, fait (I re part., 64) deux angles droits : donc la moitié de l’angle ADB, jointe avec l’angle DBA, fait un droit. Mais l’angle DBA, ajouté avec l’angle ABS, donne aussi un droit : donc l’angle ABS est égal à la moitié de l’angle ADB; donc la mesure de ABS sera Ift moitié de l’arc AGB.

Segment capable d'un angle donné. Manière de construire ce segment.

La seconde démonstration que nous venons de donner de cette propriété du cercle, que l’angle ABS a pour

mesure la moitié de l’arc AGB, fournit la solution du problème suivant.

Décrire sur AB [fig. 89 et 90) un segment de cercle capable de l’angle donné L, c’est-à-dire