TROISIÈME PARTIE

tin segment AEB dans lequel tous les angles AEB à la circonférence soient égaux à l’angle L.

Pour résoudre ce problème, il faudra faire eu A et en B les angles BAS et ABS, chacun égal à l’angle L, et élever sur AS et sur BS les deux perpendiculaires AD et BD. Leur rencontre D sera le centre de l’arc cherché AEB.

Car, par le n° 19, les droites BS et AS seront les tangentes du cercle dont le centre est D et le rayon AD ou BD , puisque BD ou AD sont perpendiculaires à JBS et à AS. De plus, par le numéro précédent, l’angle ABS a pour mesure la moitié de AGB, et, par le n° 15, les angles tels que AEB sont aussi mesurés par la moitié de AGB : donc ces angles AEB seront égaux à ABS, c’est-à-dire à l’angle L, ainsi qu’on le demandait.

Trouver la distance d'un lieu à trois autres dont les positions sont connues.

Là découverte des propriétés des segments de cercle* que nous venons d’expliquer, est due vraisemblablement à la simple curiosité des géomètres; mais il en a été de cette découverte comme il en est tous les jours de beaucoup d’autres : ce qu’on ne croyait pas d’abord utile lè devient par la suite. On a fait dans la pratique des applications fort heureuses des propriétés du cercle que nous venons de démontrer. Je ne donnerai qu’une seule de ces applications; on la trouve dans la solution du problème suivant, qui est souvent nécessaire dans la géographie.

A, B et C [fig. 91) sont trois lieux dont on connaît les distances respectives AB, BC et AC ; il s’agit dé savoir à quelle distance de ces lieux est un point D, d’où l’on peut les voir tous les trois , mais d’où l’on ne peut sortir pour opérer sur le terrain.

GÉOMÉTBIB.

On commencera par tracer sur le papier trois points «, b et c [fig. 91 et 92) qui. soient situés entre eux de

Fig. 91 .

la même manière que les trois points A, B et C, c’est-àdire, en langage géométrique, qu’on fera le triangle abc semblable au triangle ABC.

Ayant mesuré ensuite avec le demi-cercle la grandeur des angles ADB et BDC , on fera sur ab le segment de cercle adb capable de l’angle ADB, et sur la droite bc, le segment de cercle bdc capable de l’angle BDC. La rencontre d de ces deux segments désignera , sur le papier, la position du lieu D, c’est-à-dire que les lignes da db et de seront en même rapport , à l’égard de ab, bc et oc, que les distances cherchées DA, DB et DC, à l’égard des distances données AB, BC et AC : ce qui n’a pas besoin de démonstration après ce qu’on a vu sur les figures semblables.

Deux cordes se coupant dans un cercle, le rectangle des parties de l’une est égal au rectangle des parties de l'autre.

On pourrait facilement démontrer que la pratique a tiré bien d’autres secours des propriétés du cercle qu’on vient de démontrer; mais il est plus à propos de passer