TROISIÈME PARTIE

Fig. 93 .

à d’autres propriétés du cercle, qui ont été tirées des précédentes et qui ont eu aussi leur utilité.

Pour procéder par ordre à la découverte de ces propriétés, nous commencerons par remarquer que deux angles quelconques EDC et EBC [fig. 93 ) , qui s’appuient sur le même arc EC, étant égaux, il s’ensuit que les triangles DAE et BAC ont les angles égaux, c’est-à-dire (I re part., 39) que ces triangles sont semblables.

Car, par la même raison que l’angle EDC est égal à l’angle EBC, l’angle DEB sera égal à l’angle DCB; et quant aux angles DAE et BAC , ils seront visiblement égaux , soit parce qu’ils sont faits de mêmes lignes, soit parce que deux triangles, dont l’un a deux angles respectivement égaux à deux angles de l’autre, ont aussi nécessairement le troisième angle égal (I re part., 38).

Pour reconnaître plus facilement ensuite dans les triangles ADE et ABC {fig. 93 et 94) les propriétés générales des triangles semblables , nous appliquerons le triangle DAE sur le triangle BAC , en posant AD sur AB et AE sur AC, afin que DE soit parallèle à BC. Nous nous rappellerons alors,

1° Que si deux triangles ADE et ABC sont semblables , les quatre côtés AC , AE, AB et AD sont en proportion (l re part., • 39);

2° Que, dans toute proportion, le produit des extrêmes est égal au produit des moyens (II e part., 8); et nous conclurons de là que le rectangle ou le produit de AC par AD est égal au rectangle de AE par AB; propriété du cercle très-remarquable , et qu’on peut énoncer ainsi : Si dans un cercle on tire à volonté deux droites

86 GÉOMÉTBrB.

qui se coupent, le produit des deux parties de la première est égal au produit des deux parties de la seconde.

Le carré d’une perpendiculaire quelconque au diamètre d'un cercle est égal au rectangle des deux parties du diamètre.

Si les deux droites BE et DC {fig. 95) se coupaient

Fig. 95 .

perpendiculairement, et que l’une de ces deux droites fût un diamètre DC , il est clair que les deux parties AB et AE de l’autre droite BE seraient égales entre elles; de sorte que la propriété précédente s’énoncerait ainsi dans ce cas particulier :

Si sur le diamètre DC d’un cercle on élève une perpendiculaire quelconque AB, le carré de cette perpendiculaire sera égal au rectangle de AD par AC.

Fig. 96 .

Changer un rectangle en un carré.

Il arrive souvent qu’on a besoin de changer un rectangle en un carré : le numéro précédent en fournit un moyen facile.

Soit ACFE {fig. 96) le rectangle proposé; on prolongera AC en D, de sorte que AD soit égal à AE, et l’on décrira le demi-cercle DBC , dont le diamètre soit DC. Prolongeant ensuite le côté EA jusqu’à ce qu’il rencontre le demi-cercle , on aura AB pour le côté du carré cherché ABGH , égal au rectangle donné ACFE.