TROISIÈME PARTIE

Moyenne proportionnelle entre deux lignes droites. Manière de la trouver.

On propose souvent un problème qui n’est que celui que nous venons de résoudre présenté autrement ; c’est de trouver une ligne qui soit moyenne proportionnelle entre deux lignes données. On entend alors par la moyenne proportionnelle la ligne qui est aussi grande par rapport à la plus petite des deux lignes données qu’elle est petite par rapport à la plus grande, c’està-dire que si AB, par exemple, est moyenne proportionnelle entre AD et AC, on pourra dire que AD est à AB comme AB est à AC. Il est facile de reconnaître que ce problème est le même que le précédent, puisque (II e part., 8) le produit de AD par AC, c’est-à-dire le rectangle de ces deux lignes , sera égal au produit de AB par AB , c’est-à-dire au carré de AB.

Donc, lorsqu’on voudra trouver une moyenne proportionnelle entre deux lignes données, on changera le rectangle de ces deux lignes en un carré dont le côté sera la ligne cherchée.

Autre manière de trouver une moyenne proportionnelle.

On peut encore trouver une moyenne proportionnelle entre deux lignes, d’une autre manière qui suit de Fig. 97. la propriété du cercle expliquée

dans le n° 13. Supposons que AC ‘ [fig. 97) soit la plus grande des deux lignes données, et AD la plus petite; on élèvera DB perpendiculairement sur AC, et le point B, où elle rencontrera le demi-cercle ABC

88 gsouétbie.

tracé sur le diamètre AC , donnera la ligne AB , moyenne proportionnelle entre AD et AC, car en tirant BC il est clair que le triangle ABC sera rectangle en B : donc (I re part., 38) ce triangle sera semblable au triangle ABD, puisque ces deux triangles ont d’ailleurs l’angle A commun ; mais si les triangles ADB et ABC sont semblables, ils ont leurs côtés proportionnels : donc AD est à AB comme AB est à AC ; donc AB est moyenne proportionnelle entre AD et AC.

Changer une figure rectiligne en un carré.

Si l’on voulait changer une figure rectiligne quelconque en un carré, il ne faudrait, pour ramener ce problème au n° 25, que faire de cette figure un rectangle; ce qui serait fort facile, puisque les figures rectilignes ne sont que des assemblages de triangles, que chaque triangle est la moitié d’un rectangle qui a môme base et même hauteur, et que tous les rectangles provenus des triangles ne seront plus qu’un seul rectangle, en leur donnant à tous une hauteur commune ( II e part., 6).

Changer en un carré les figures dont les contours renferment des arcs de cercle.

Les figures dont les contours renfermeront des arcs de cercle pourront aussi être changées en carrés lorsqu’on aura mesuré par pratique la longueur des arcs dont elles seront composées; car on pourra alors changer ces figures, ainsi que les rectilignes, en rectangles. On aura recours pour cela aux n os 9 et 10, où l’on a appris à mesurer toutes sortes de figures circulaires.