QUATRIÈME PARTIE

La ligne qui est perpendiculaire à un plan est perpendiculaire à toutes tes lignes de ce plan qui partent du point où elle tombe.

Laligne AB [fig. 106), étant perpendiculaire au plan X, Fig. 1 06. <loit être perpendiculaire à toutes les lignes AC, AD , AE, etc., qui partent du pied A de cette ligne et qui sont dans ce plan ; car il est évident que si elle penchait sur une de ces lignes, elle serait inclinée vers quelque côté du plan : donc elle ne hit serait pas

perpendiculaire.

Autre manière de démontrer qu’une ligne droite étant perpendiculaire à un plan est perpendiculaire à toutes les droites de ce plan passant par le point où elle tombe.

Pour se représenter d’une façon bien sensible comment la ligne AB peut être perpendiculaire à toutes les lignes qui partent de son extrémité A, on n’aura qu’à faire une figure en relief de la manière suivante :

On construira de quelque matière unie et facile à plier, comme du carton, un rectangle FGDE(/î$r. I 07 )partagé en deux parties égales par la droite AB perpendiculaire aux côtés ED etFG; on pliera ensuite ce rectangle,, en sorte que le pli soit le long de la ligne AB (/îÿ. I 08 )etoa

Fig. 108.

Fig. 107. v B

Clairaut. Géométrie.

le portera tout plié sur le plan X. Il est évidentque, quelle que soit l’ouverture que l’on donne aux deux parties FBAE et GBAD d rectangle plié EADGBF, ces deux parties resteront toujours appliquées sur le plan X, sans que la ligne AB change de position par rapport à ce plan : cette droite AB sera donc perpendiculaireà toutes les lignes qui partent de son pied et qui seront dans le plan X , puisque les côtés AE et AD du rectangle plié s’appliqueront successivement sur chacune de ces lignes par le mouvement que nous venons de décrire.

Manière simple d’élever ou d’abaisser des lignes perpendiculaires à des plans.

On tire de la construction précédente une pratique bien commode pour élever, d’un point donné sur un plan, une ligne perpendiculaire à ce plan, ou pour abaisser d’un point pris hors d’un plan une ligne qui

soit perpendiculaire à ce plan.

Car, que le point proposé soit dans le plan, en A (/ ig . 109) par exemple, ou qu’il soit hors du plan, comme en H, on pourra toujours faire avancer le rectangle EFBGDA sur le plan X, jusqu’à ce que le pli AB touche le point donné; et AB deviendra, dans les deux cas, la perpendiculaire demandée.

Une ligne est perpendiculaire à un plan quand elle est perpendiculaire à deux lignes de ce plan qui partent du point où elle tombe.

Il suit aussi de là que la ligne AB sera perpendicu-

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