QUATRIÈME PARTIE

lygones réguliers ou irréguliers BCDEF et bcdef{fig. 12 1 et 1 22) , égaux entre eux, il n'y a personne qui ne pen-

Fig. 121. Fig. 122.

sàt encore que toutes les tranches IKLMN et iklmn de l’une et de l’autre de ces deux pyramides devraient être égales entre elles, et qui n’en conclût, par conséquent, que les pyramides auraient toujours la même solidité lorsqu’elles auraient même base et même hauteur.

Utilité à’ étudier la similitude des figures solides.

Ce qui précède est facile à imaginer après la démonstration que nous avons donnée de l’égalité des prismes qui ont même hauteur; cependant la similitude entre la tranche quelconque IKLMN d’une pyramide et la base BCDEF et l’égalité des tranches IKLMN et iklmn sont de ces propositions qui , quoique sensibles pour tout le monde, ont à la rigueur besoin d’une démonstration : or, pour trouver cette démonstration , on est obligé d’entrer dans plusieurs considérations sur la similitude des figures solides.

En quoi consiste la similitude de deux pyramides semblables.

Reprenons la pyramide ABCDEF (fig. 1 21), et supposons-la coupée par un plan IKLMN parallèle à la base;

110 GiOMÉritlE.

nous allons démontrer que la section ou la coupe formée par ce plan dans la pyramide est un polygone semblable au polygone BCDEF, et que la pyramide AIKLMN est elle-même semblable à la pyramide ABCDEF, c’est-à-dire que les angles que forment toutes les lignes de ces deux figures sont respectivement égaux , et que tous les côtés de la petite pyramide ont le même rapport entre eux que ceux de la grande.

Lorsque deux plans parallèles sont coupés par un troisième plan, les intersections sont parallèles.

Commençons par remarquer que si deux plans X et Y (fèg. 123) sont parallèles, et que deux lignes quelconques Fig. 123 . ALD et AME, partant d’un même point A, traversent ces deux plans, les droites LM et DE qui joindront les points L et M , D et E seront parallèles. La raison en est que si ces deux lignes n’étaient pas parallèles, elles se rencontreraient quelque part, étant prolongées ; mais si elles se rencontraient, les plans dans lesquels elles sont et dont elles ne peuvent pas sortir, en les prolongeant autant qu’il serait nécessaire , se rencontreraient aussi : donc ils ne seraient pas parallèles, ainsi qu’on le suppose.

Lorsqu’on coupe une pyramide par un plan parallèle à la base, la section est un polygone semblable à celui de la base.

Soit le plan IKLMN {fig. 121) parallèle au plan BCDEF, les lignes ML, LK, Kl, IN et NM seront parallèles aux lignes ED , DC , CB , BF et FE , et par conséquent les ■ triangles ALM, AKL, AIK, etc., seront semblables aux