QUATRIÈME PARTIE. 1 ! I

triangles ADE, ACD, ABC, etc. Si l’on prend l’un des côtés de ces triangles, AM par exemple, pour échelle ou pour commune mesure de tous les côtés de la petite pyramide, pendant que le côté correspondant AE servira d’échelle aux côtés de la grande, on verra sans peine que les côtés ML, LK, Kl, etc., du polygone IKLMN seront proportionnels aux côtés ED, DC, CB, etc., du polygone BCDEF.

On verra aussi facilement que tous les angles IKL, KLM, etc., seront respectivement égaux aux angles BCD et CDE, puisque les premiers seront formés par des lignes parallèles aux côtés des seconds. Donc les deux polygones IKLMN et BCDEF seront semblables.

La pyramide obtenue par un plan parallèle à la base est une pyramide semblable à la première.

Or les côtés AM, AL, AK, etc. ( fig . 1 2 1 ), étant proportionnels aux côtés AE , AD , AC , etc., et les angles ALM, ALK, etc., respectivement égaux aux angles ADE, ADC, etc., à cause de la ressemblance des triangles ALM, ADE, ALK, ADC, etc., les deux pyramides AIKLMN et ABCDEF seront entièrement semblables.

Un plan parallèle à la base d’une pyramide divise les arêtes et la hauteur en parties proportionnelles.

Si du point A {fig. 121) on mène AH perpendiculaire au plan sur lequel est construit le polygone BCDEF, et que Q soit le point ou cette perpendiculaire rencontre le plan du polygone IKLMN, il est clair que les droites A Q et AFI, hauteurs des deux pyramides AIKLMN et ABCDEF, seront entre elles dans la même raison que les côtés homologues AM, AE, AL, AD, etc., ou, ce qui revient au même, que si l’on prend les hauteurs AQ et

AH pour les échelles des deux pyramides, les côtés AM, AL, etc. , contiendront autant des parties de A Q que les côtés AE, AD, etc., contiendront des parties de AH.

Les pyramides de même base et de même hauteur sont équivalentes.

Qu’on revienne maintenant à considérer les deux pyramides ABCDEF et abcdef à la fuis {fig. 121 et 122) : on verra que les deux tranches IKLMN, iklmn, étant semblables aux bases BCDEF et bcdef qui sont les mêmes, elles seront semblables entre elles. On verra de .plus que ces deux tranches seront égales entre elles, puisque les échelles de ces deux figures sont les droites égales AQ et ag, hauteurs des pyramides AIKLMN et aiklmn.

Donc, sans connaître quelle est la solidité des pyramides, on sait déjà avec certitude que si elles ont même hauteur et même base , elles sont équivalentes , ainsi que nous l’avions soupçonné (29).

Deux pyramides sont encore équivalentes si, ayant même hauteur, leurs bases ne sont pas égales, mais seulement équivalentes.

Si les bases des deux pyramides, au lieu d’être les

Fig. 124 .

mêmes, étaient seulement égales en superficie, les pyramides seraient encore égales en solidité. Car soient abcdef et arst [fig. 122 et 124) deux pyramides qui ont la même hauteur ah : si l’on coupe ces deux pyramides par un plan quelconque parallèle à la base, il est évident qu’il y aura même rapport de faire

QUATBIÈME PABTIE. 113

iklmn à l’aire bcdef que de l’aire uxy à l’aire rst, puisque iklmn et bcdef étant (34) des figures semblables, elles ne diffèrent (I re part., 48) que parleurs échelles aq, ah, etc., et que les figures uxy et rst étant aussi semblables, elles ne diffèrent non plus que par leurs échelles, qui sont encore les lignes aq et ah.

Mais si les bases rst et bcdef sont égales en superficie, leurs parties proportionnelles uxy et iklmn seront donc égales : donc toutes les tranches des deux pyramides arst et abcdef auront la même étendue; donc leurs assemblages , c’est-à-dire les pyramides mêmes, seront égaux en solidité ou équivalents.

Les pyramides de même hauteur sont entre elles comme leurs bases.

Si la base bcdef [fig. 122) de la première pyramide contenait un certain nombre de fois la base rst [fig. 1 24), la solidité de la première pyramide abcdej contiendrait le même nombre de fois la solidité de la seconde arst.

Car, eu ce cas, la base bcdef étant divisée en plusieurs parties dont chacune fût égale à la base rst, on pourrait concevoir la pyramide abcdef comme composée de plusieurs autres pyramides qui auraient pour bases les parties de bcdef. Or chacune de ces nouvelles pyramides serait égale à la seconde pyramide arst, selon ce que nous avons prouvé dans le numéro précédent : donc, etc.

Que si la base rst n’était pas contenue exactement dans la base bcdef , mais que ces deux bases eussent une mesure commune X, on diviserait chacune des deux bases bcdef et rst en des parties égales à X, et l’on verrait que les deux pyramides abcdef et arst seraient composées d’autant de pyramides nouvelles, toutes égales entre elles , que les deux bases contiendraient de par-

GÉOMÉTBIE.

ties X : donc les pyramides abcdef et arst seraient entre elles comme leurs bases.

Et si les bases étaient incommensurables, on ferait toujours voir, malgré cela, que les pyramides seraient entre elles en même raison que leurs bases, en se servant d’une induction semblable à celle que l’on a employée dans un cas pareil (II e part., 28) lorsqu’il s’agissait de comparer les ligures dont les côtés étaient incommensurables; c’est-à-dire que l’on diminuerait à l’infini la mesure X, de façon qu’elle pût être censée mesure commune tant de la base rst que de la base bcdef.

Pour savoir mesurer toutes sortes de pyramides , il suffit de trouver un procédé pour en mesurer une seule.

Ayant découvert que les pyramides qui ont même hauteur sont entre elles comme leurs bases, on doit prévoir que la mesure de leur solidité ne renferme plus que très-peu de difficulté.

Car il ne s’agit plus que de savoir mesurer une seule pyramide, pour mesurer toutes les autres. Supposons, par exemple, que nous sachions mesurer la pyramide

Fig. 125. Fig. 126 . ABCDE (/?</. 125 et 126), etque

l’on nous demande la mesure * de la pyramide ASTVXY, qui n’a ni la même base ni la même hauteur que la première ; nous commencerons par faire une pyramide sem- B %lf fr* k* a k* e à la pyramide ABCDE, TV et Q ui ait la hauteur de la pyramide ASTVXY, ce qui sera Bien facile, car il suffira (35) de prolonger les côtés AB, AC, AD et AE, et de les couper par le plan LM'NO,