QUATRIÈME PARTIE

dont la distance AG au sommet A soit égale à la hauteur AO.

Cela fait, puisque, par la supposition, nous savons mesurer la pyramide ABCDE, il est évident que nous saurons mesurer aussi la pyramide ALMNO qui lui est semblable ; car, quelles que soient les opérations par lesquelles on mesure la pyramide ABCDE , on pourra toujours faire les mêmes opérations pour mesurer la pyramide semblable ALMNO, à cela près que l’on emploiera dans celle-ci une échelle différente.

Supposons donc que la pyramide ALMNO soit mesurée, sa mesure déterminera aussi celle de la pyramide proposée ASTVXY ; car, par le numéro précédent, ces deux pyramides sont entre elles comme leurs bases LMNO et STVXY, et nous avons d’ailleurs enseigné, dans la seconde partie, à trouver le rapport de ces deux bases.

La pyramide que Von obtient en joignant les quatre angles d’une des faces d’un cube au centre de ce cube a pour mesure le produit de sa base par le tiers de sa hauteur.

Puisqu’il ne s’agit donc que de mesurer une seule pyramide pour savoir mesurer toutes les autres pyramides imaginables , proposons-nous de mesurer une pyramide formée en tirant, des quatre angles A, B, Cet H ( fig. 127) d’une des faces d’un cube ABCDEFGHT, quatre lignes au point O, centre de ce cube, c’est-à-dire le point également distant de A, D, B, E.

On voit sans peine que cette pyramide est la sixième partie du cube , puisqu’on peut décomposer le cube en

f GjÉOMÉTBIB.

six pyramides pareilles eu prenant chaque face pour base. Or, la valeur du cube est le produit de la hauteur AF par la base ABCH : donc, pour avoir la valeur de la pyramide, il faudra partager le produit de AF par ABCH en six parties égaies, ou, ce qui revient au même, il faudra multiplier la sixième partie de la hauteur AF par la base ABCH; et comme la sixième partie de la hauteur AF est le tiers de ta hauteur OL de ta pyramide OABCH, puisque sa hauteur OL est la moitié du côté du cube, il s’ensuit que la mesure de la pyramide OABCH. est ie produit de sa base par ie tiers de sa hauteur.

Une pyramide quelconque a pour mesure le produit de sa base par le tiers de sa hauteur.

Supposons présentement qu’on ait à mesurer une pyramide quelconque OKMNSTV {fig. 1 27 et 1 28). On ima- Fig. 128 . ginera un cube dont le côté AB ou AF soit double de la hauteur OL de la pyramide proposée, et l’on concevra dans ce cube une pyramide OABCH , dont la pointe soit au centre et qui ait pour base une des faces ABCH du cube. Cette nouvelle pyramide aura même hauteur que la première, et par conséquent (39 J la solidité de OABCH sera à celle de KMNOSTV comme la base ABCH à la baseKMNSTV : or, par le numéro précédent, le produit du tiers de la hauteur commune OL par la base ABCH est la valeur de la pyramide OABCH ; donc le produit du tiers de la même hauteur commune OL par la base KMNSTV sera la valeur de la pyramide proposée OKMNSTV.

Et par là on découvre ce théorème général, qu’une pyramide a pour mesure le produit de sa base par le

tiers de sa hauteur .

QUATBIÂME PABTIE.

La pyramide est le tiers du prisme qui a même base et même hauteur.

Comme nous avons vu (21) que la solidité d’un prisme est le produit de sa base par sa hauteur, il est clair, par le numéro précédent, que les pyramides seront toujours le tiers des prismes qui auront même base et même hauteur.

Mesure des solides terminés par des surfaces courbes.

Après avoir mesuré, tous les solides terminés par des plans, nous allons chercher le chemiu qu’on peut avoir suivi pour mesurer les solides dont les surfaces sont courbes. Et comme nous n’avons traité dans la troisième partie que des figures dont les contours ne renferment d’autres courbes que le cercle, nous n’examinerons que les corps dont les courbures sont circulaires.

Dans l’examen de ces corps, nous aurons deux objets, la mesure de leurs surfaces et celle de leurs solidités; car ces surfaces étant, ou entièrement courbes, ou en partie planes et en partie courbes , nous ne pourrons renvoyer leur mesure à la première partie , ainsi que nous l’avons fait des corps terminés par des plans.

Le cylindre est un solide terminé par deux faces opposées et parallèles qui sont des cercles égaux, et par un plan ployé autour de leurs circonférences. On distingue le cylindre droit et le cylindre oblique.

Le plus simple de tous les solides courbes est le cy-

118 GÉOMÉTHIE.

lindre : c’est un corps ^ABCDEF (fiy. 129 et f 30), dont les deux bases ABC et DEF sont deux cercles égaux

Fig. 129 . Fig. 130 .

et parallèles , joints par une surface courbe qu’on peut imaginer formée par un plan ployé autour de leurs circonférences.

Lorsque les deux cercles sont placés de façon que le centre G du premier réponde perpendiculairement audessus du centre H du second, le cylindre se nomme droit.

Le cylindre se nomme au contraire oblique, lorsque la ligne tirée par les deux centres G et H [fig. 130) est oblique à l’égard des plans ABC et DEF.

Formation du cylindre .

La formation géométrique de ces solides, analogue à celle des prismes et des parallélipipèdes dont il a été parlé (17), consiste à faire mouvoir un cercle parallèlement à lui-même, en sorte que tous ses points décrivent des lignes droites parallèles qui s'élèvent hors du plan de ce cercle.