QUATRIÈME PARTIE

La surface courbe d’un cylindre droit est égale à un rectangle qui a la même hauteur et dont la base est égale à la circonférence.

On parviendra, de la manière suivante, à mesurer la surface d’un cylindre droit; ce qui est souvent nécessaire dans la pratique.

Les deux circonférences ABC et DEF ( fig . 129) étant partagées chacune en un même nombre de parties égales, les points de division répondant les uns au-dessus des autres, qu’on tire des lignes droites qui joignent les angles correspondants des deux polygones réguliers que donne cette opération, il est clair qu’on aura alors un prisme dont la superficie sera composée d’autant de rectangles renfermés dans la surface du cylindre qu’il y a de côtés renfermés dans chacune des circonférences ABC et DEF. Or, tous ces rectangles ayant chacun leur hauteur égale à AD, leur mesure totale sera le produit de la hauteur AD par la somme de toutes les bases* c’est-à-dire par le contour du polygone ou périmètre renfermé ou inscrit dans le cercle DEF ou ABC.

Mais comme, à mesure que le nombre des côtés de ce polygone sera plus grand, le contour du polygone approchera de plus en plus d’être égal à la circonférence, et la surface du prisme d’être égale à celle du cylindre, il s’ensuit que si l’on imagine que le nombre des côtés de ce polygone devienne infini, le prisme ne différera pas du cylindre. La surface courbe du cylindre droit est donc égale à un rectangle dont la hauteur serait AD et la base une ligne droite égale a la circonférence DEF.

Cette proposition peut servir à trouver, par exemple, ce qu’il faudrait d’étoffe pour envelopper un pilier cylindrique ou pour tapisser l’intérieur d’une tour ronde.

GÉOMÉTBIE.

Mesure de la surface courbe d’un cylindre oblique.

Quant à la surface du cylindre oblique, on ne peut pas la mesurer de la même manière, parce qu’au lieu de rectangles on aurait des parallélogrammes de hauteurs différentes. Ce n’est que par des méthodes très-compliquées et très-difficiles qu’on est parvenu à connaître seulement la valeur approchée de cette surface, et les problèmes de ce genre ne sont pas du ressort des Eléments.

Les cylindres de même base et de même hauteur sont équivalents.

A l’égard de la solidité des cylindres, soit droits, soit obliques, rien ne sera plus facile que de la trouver; car il est évident que tout ce que nous avons dit des prismes conviendra aux cylindres, si l’on regarde les cylindres comme les derniers des prismes qu’on peut leur inscrire.

Ainsi , les cylindres qui auront même base et même hauteur sont égaux en solidité ou, en d’autres termes, sont équivalents.

La mesure d’un cylindre quelconque est le produit de sa base par sa hauteur.

Puisque les cylindres sont considérés comme des prismes (49), il en résulte que la mesure d’un cylindre quelconque consistera dans le produit de sa base par sa hauteur.