QUATRIÈME PARTIE. f

de dorure pour une bouîe, combien on devrait prendre de lames de plomb pour couvrir un dôme , etc.

6fl.

La sur face d'une sphère est formée par la révolution d'un demi-cercle autour de son diamètre. On peut comparer la surface d’une sphère à celle qui est produite par un polygone régulier d’un nombre infini de côtés tournant autour de son diamètre.

Soit X ( fig. 1 36) la sphère dont on veut mesurer la su-

j F ig. 136 .

perfide; il est évident que l’on peut concevoir ce solide comme produit par la révolution d’un demi cercle A MB autour de son diamètre AB.

Supposons d’abord qu’au lieu de la demi-circonférence nous ayous un polygone régulier d’un nombre infini de petits côtés , ou, si l’on veut , d’un très-grand nombre de côtés , et proposons-nous seulement de mesurer la'surface Z (fig. 137), produite par la

Fig. 137 .

révolution de ce polygone. Il sera facile de passer ensuite de la mesure de cette surface à la mesure de la surface de la sphère , ainsi que nous avons passé de la mesure des ligures rectilignes à celle du cercle.

Moyens de mesurer les surfaces engendrées par un polygone régulier d’un nombre infini de côtés.

Pour mesurer la surface du solide Z, examinons la petite partie de cette surface que produit un seul côté quelconque Mm du polygone inscrit, pendant qu’il

126 GÉOMÉTBIE.

tourne autour du diamètre AB ( fig . 1 88). Il est évident

que ce côté Mm décrit dans * ig ' ,S8 ‘ ce mouvement une surface

de cône tronqué V : car, en prolongeant la droite m\f jusqu’à ce qu’elle rencontre en T le diamètre ou axe de révolution AB, si cette ligne TMm tourne en même temps que le demi -cercle AMB, elle décrira visiblement un cône droit , dont le sommet sera T, et la base, le cercle décrit par le point m; en sorte que la surface V produite par le mouvement de Mm sera une tranche de ce cône enfermée entre les plans des cercles que les points M et m décrivent en tournant. Mais, selon que nous l’avons vu (59) la surface V est égale à un rectangle dont Mm est la hauteur, et la base, une ligne égale & la circonférence KLO décrite par le point K, milieu de Mm : donc la surface produite par la révolution du polygone est égale à la somme d’autant de rectangles de cette nature qu’il y a de côtés dans ce polygone , tels que Mm.

Or, comme tous les côtés Mm, hauteurs de ces rectangles, sont supposés égaux, on pourrait regarder la surface cherchée comme un rectangle total qui aurait la hauteur Mm avec une base égale à la somme de toutes les circonférences telles que KLO, c’est-à-dire décrites par le point de milieu de chaque petit côté.

Mais le polygone inscrit dans le demi-cercle AMB ayant un très-grand nombre de côtés, la petitesse de la hauteur Mm et la grandeur excessive de la base rendent ce rectangle inconstructible.

Pour remédier à cet inconvénient , il est bien facile d’imaginer de changer tous ces petits rectangles en d’autres qui auraient toujours une même hauteur, non

QUATBIÈME PABTIE. I2T

pas imperceptible comme Mm, mais assez grande pour que chacune des bases devînt fort petite; moyennant cela, l’addition de toutes ces petites bases ne fera plus qu’une longueur comparable a la hauteur.

APlTT

Méthode pour changer la mesure décrite dans le numéro précédent en une mesure plus facile.

Voyons donc si nous ne pourrons point changer de cette sorte nos petits rectangles. Supposons d’abord, pour simplifier le problème, que nos rectangles, au lieu d’avoir pour bases des lignes égales aux circonférences KL [fig. 138), n’aient pour bases que les rayons Kl [fig.

1 39) de ces circonférences.

Fi3 ' 1 39 ' Il ne nous sera pas difficile

ensuite d’appliquer ce que nous aurons trouvé pour ces derniers rectangles à ceux J g qui nous occupent.

Il s’agit donc de trouver un rectangle qui ait pour mesure le produit de Mm par Kl, et qui ait pour hauteur quelque ligne incomparablement plus grande que Mm, et qui soit la même en quelque endroit que soit placé ce petit côté Mm. Choisissons, par exemple, la droite CK, qui est l’apothème du polygone dont Mm est le côté, et qui par conséquent est toujours la même à quelque côté du polygone qu’elle appartienne. Nous devons donc chercher une ligne dont le produit par CK soit égal au produit de Kl par Mm, c’est-à-dire (II e part., 7) qu’il faut trouver une quatrième proportionnelle aux trois lignes CK, Kl et Mm. Or nous savons que c’est par le moyen des triangles semblables que l’on découvre des lignes proportionnelles à d'autres lignes; il faut donc former des triangles sem-

blables , dont les côtés homologues soient les lignes en question : c’est ce que l’on fera en abaissant MR perpendiculaire à mp. On aura alors les triangles MmR et KIC qui seront semblables; car ils seront chacun rectangles, l’un en R, l’autre en I, et de plus ils auront les angles mMR et 1KC égaux entre eux, parce que le premier fait un angle droit avec l’angle M/»R, égal à l’angle MKI, et que l’autre 1KC fait aussi un angle droit avec MKI.

De là on peut conclure facilement que CK est à Kl comme Mm à MR; c’est-à-dire que MR est la quatrième proportionnelle cherchée , ou , ce qui revient au même, que le rectangle de CK par MR ou par Pp est égal au rectangle de Mm par Kl.

Mais comme le rectangle que nous nous étions d’abord proposé de changer n’était pas celui de Mm par Kl, que c’était celui de M?n par la circonférence dont Kl est le rayon, nous nous rappellerons ici que les circonférences sont entre elles comme les rayons, ce qui fait que l’égalité qui est entre le rectangle de Mm par Kl et celui de P p par CK entraîne nécessairement l’égalité du rectangle de Mm par la circonférence de Kl au rectangle de P p par la circonférence de CK. Car on voit facilement que si deux rectangles sont égaux, et que, conservant leurs hauteurs, on augmente proportionnellement leurs bases, ces rectangles demeureront encore égaux.

. La surface produite par la révolution d'un polygone régulier a pour mesure celle d’un rectangle dont la base serait égale à la circonférence du cercle inscrit et dont la hauteur serait égale au diamètre du polygone.

Ayant découvert, dans les deux numéros précédents, que toutes les petites surfaces coniques tronquées, telles que V ( fig . 138), sont égales à autant de rectangles qui

Digitizi

QUATBIÈME PARTIE. 129

auraient tous pour hauteur une même droite égale à la circonférence dont CK serait le rayon , et dont chacun aurait pour base une petite droite Pp correspondante à chaque côté Mm , on en déduira qu’une somme quelconque de ces petites surfaces, prise par exemple depuis A jusqu’en p, sera égaie à un rectangle qui aurait pour hauteur une droite égale à la circonférence de CK, et pour base la somme de toutes les lignes telles que P p, prise depuis A jusqu’en p, c’est-à-dire la droite A p.

Donc, pour avoir la surface totale produite par la révolution du polygone entier, il faudra faire un rectangle dont la base soit égale à la circonférence décrite du rayon CK, et qui ait une hauteur égale au diamètre AB.

La surface de la sphère a pour mesure le produit de son diamètre par la circonférence de son grand cercle .

Il est bien facile maintenant de mesurer la surface de la sphère : car il est clair que plus il y a de côtés dans le polygone, plus le solide produit par sa révolution approchera d’être égal à la sphère, et plus aussi l’apothème CK approchera d’être égal au rayon ; en sorte que si l’on peut imaginer que le polygone soit devenu un cercle, l’apothème CK sera le rayon même, et la surface de la sphère aura la même étendue qu’un rectangle dont la hauteur et la base seraient, l’une le diamètre, et l’autre une ligne égale à la circonférence du cercle qui l’a produite , et que l’on appelle ordinairement le grand cercle de la sphère.

Segment de sphère ; mesure de sa surface.

Quant à la surface courbe d’un segment de sphère

AMLNO ( fig . 140), c’est-à-dire de la partie que l’on

retranche d’une sphère lorsqu’on la coupe par un plan MLNO perpendiculaire au diamètre, elle a pour mesure le produit de son épaisseur ou flèche AP par la circonférence du grand cercle AMBN.

La raison en est la même que celle par laquelle on a prouvé (64) que la somme des surfaces de tous les petits cônes tronqués compris depuis A {fig. 139) jusqu’en m est égale au rectangle dont la hauteur est A p, et la hase , une ligne égale à la circonférence dont CK est le rayon.

' La surface de la sphère est égale à la surface courbe du cylindre circonscrit.

La mesure précédente de la surface de la sphère apprend que si l’on fait tourner le rectangle ABDE {fig. 1 4 1 ) Fig. i 4 i. en même tempsque le demi-cer-

cle AMNB autour de AB, la surface courbe du cylindre droit EFGIKDH produit par la révolution de ce rectangle sera égale à celle de la sphère décrite par le demi-cercle ; ce qu’on exprime ordinairement ainsi : la surface de la sphère est égale à la surface courbe du cylindre circonscrit.

Les tranches du cylindre et de la sphère ont la même superficie.

Et si l’on coupe tant le cylindre que la sphère par