QUATRIÈME PARTIE. I 3 i
deux plans quelconques perpendiculaires au diamètre AB en P et en Q [fig. 141), les tranches du cylindre et de la sphère qui seront produites par le mouvement de la droite OS et de l’arc MIN seront égales en superficie.
La surface de la sphère est égale à quatre fois celle de son grand cercle. »
On voit encore, par ce qui précède, que la surface de la sphère est égale à quatre fois l’aire de son grand cercle; car la surface de ce grand cercle a pour mesure le produit de la moitié du rayon ou du quart du diamètre par la circonférence , et la superficie de la sphère est égale au produit du diamètre entier par la même circonférence.
La solidité de la sphère est le produit du tiers du rayon par quatre fois l’aire du grand cercle.
La mesure de la surface de la sphère étant trouvée, il est bien facile de mesurer sa solidité ; car on peut considérer la sphère comme l’assemblage d’une infinité de petites pyramides dont les sommets sont à son centre et dont toutes les bases couvrent la surface entière. Or, chacune de ces pyramides ayant pour mesure le produit du tiers de sa hauteur, c’est-à-dire du rayon, par sa base , leur somme totale ou la solidité de la sphère se mesurera en multipliant le tiers du rayon par sa surface, c’est-à-dire par quatre fois l’aire du grand cercle. ,
La solidité de la sphère est les deux tiers de celle du cylindre circonscrit.
Comme le produit du tiers du rayon par quatre fois le
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grand cercle est la même chose que le produit de quatre fois le tiers du rayon, c’est-à-dire des deux tiers du diamètre, par le grand cercle, et que la solidité du cylindre EFG1KDH a pour mesure le produit du diamètre par le même grand cercle qui lui sert de base , il s’ensuit que la solidité de la sphère est les deux tiers de celle du cylindre circonscrit.
Mesure de la solidité d’un segment de sphère.
Pour mesurer la solidité d'un segment de sphère AMLNO (fig. 1 40), il faudrait d’abord mesurer la portion de sphère produite par la révolution du secteur CAM : ce qui se ferait en multipliant le tiers du rayon par la surface du segment de sphère proposé AMLNO ; ensuite on retrancherait de cette mesure celle du cône produit par la révolution du triangle CPM, c’est-à-dire le cône dont la base est le cercle MLNO et CP la hauteur, et le reste serait la valeur demandée du segment.
En quoi consiste la similitude de deux corps terminés par des plans.
Nous terminerons par quelques propositions sur la solidité et sur la superficie des corps semblables. Ces propositions se présentent fort naturellement lorsqu’on réfléchit sur ce qui constitue la similitude de deux corps. On peut dire même qu’on ne peut manquer de les découvrir par analogie , si l’on se rappelle ce que nous avons dit (l re part., 34 et suiv.) de la similitude des figures planes, c’est-à-dire de celles qui sont décrites sur des plans.
Nous avons déterminé (32) en quoi consiste la similitude de deux pyramides; la définition que nous
