QUATRIÈME PARTIR

avons donnée alors des pyramides semblables peut s’étendre à tous les corps terminés par des plans ou polyèdres, c’est-à-dire que deux corps de cette nature seront appelés semblables , si tous les angles formés par les côtés du premier sont les mêmes que les angles formés par les côtés du second, et si les côtés d’un de ces corps sont proportionnels aux côtés homologues de l’autre*

Conditions qui déterminent la similitude de deux cylindres droits.

Quant aux corps qui ne sont pas terminés de tous les côtés par des plans, par exemple les cylindres et les cônes, il est aussi facile de déterminer les conditions nécessaires pour les rendre semblables.

Deux cylindres droits seront semblables, si leurs hauteurs sont entre elles comme les rayons de leurs bases.

Conditions de similitude de deux cylindres obliques.

Si les cylindres sont obliques, il faudra de plus que les lignes qui joignent les centres des deux cercles, dans chacun de ces cylindres , fassent les mêmes angles sur les plans de leurs bases.

Conditions de similitude de deux cônes.

Les mêmes définitions peuvent s’appliquer aux cônes, en mettant, au lieu de la ligue qui passe par les centres des deux bases du cylindre, celle qui va du sommet du cône au centre du cercle qui lui sert de base.

GÉOMÉTBIB. ■'

Conditions de similitude de deux cônes tronqués.

Pour que deux cônes tronqués soient semblables, il faut, en premier lieu , que les cônes dont ils font partie soient semblables; et en second lieu, que leurs hauteurs soient entre elles comme les rayons de leurs bases.

Les sphères , les cubes et toutes les figures qui ne dépendent que d'une seule ligne sont toutes semblables.

Les sphères sont toutes semblables entre elles, ainsi que toutes les figures , soit solides , soit planes , qui n’ont besoin que d’une seule ligne pour être déterminées, comme le cercle, le carré, le triangle équilatéral, le cube, le cylindre circonscrit à la sphère , etc.

En général, les solides semblables ne diffèrent que par les échelles sur lesquelles ils sont construits.

En général, on pourra dire des figures solides semblables, comme on l’a dit des figures planes, qu’elles ne diffèrent que par les échelles sur lesquelles elles ont été construites.

Cet exposé seul , bien considéré, conduit à deux propositions fondamentales sur la superficie et sur la solidité des corps semblables.

Les surfaces des corps semblables sont entre elles comme les carrés de leurs côtés homologues.

La première proposition apprend que les surfaces de

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deux solides semblables sont entre elles comme les carrés de leurs côtés homologues ; qu’il y a , par exemple , même rapport entre les surfaces des deux pyramides semblables z et Z ( fig . 142 et 143) qu’entre les carrés

abcd et ABCD , faits sur les côtés ab et AB , qui se répondent dans ces deux pyramides.

Pour découvrir cette proposition, on n’a besoin que des raisonnements qu’on a employés (I*« part., 43 et 44), c’est-à-dire qu’il faut seulement considérer que si P est l’échelle de la pyramide Z et p l’échelle de la pyramide semblable z, les lignes qu’il faudra employer pour mesurer la surface de Z et celle du carré ABCD auront le même nombre de P qu’il y aura de parties p dans celles qu’il faut employer pour mesurer la surface de z et celle du carré abcd.

Car de là il suit que le produit des lignes qui entrent dans la mesure de Z et de ABCD donnera le même nombre de carrés X faits sur P que le produit des lignes employées à mesurer z et abcd donnera de carres x faits sur p; c’est-à-dire que les nombres qui exprimeront le rapport de la surface de la pyramide Z au carré ABCD seront les mêmes que ceux qui exprimeront le rapport de la surface z au carré abcd.

On ferait le même raisonnement dans la comparaison de tous les autres corps semblables, soit que ces corps fussent terminés par des plans, soit qu’ils fussent terminés par des surfaces courbes; car les ligues employées à mesurer les superficies de tous ces corps auront toujours le même nombre des parties de leurs échelles, et par conséquent les produits de ces lignes contiendront un même nombre de fois les carrés de ces mêmes parties.

Et si les lignes nécessaires pour mesurer la superficie

Fig. 142 . Fig. 143.

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des corps semblables étaient incommensurables, il est clair que la démonstration subsisterait toujours, pourvu qu’on employât ici les principes dont on s’est servi (II e part., 28) pour comparer les figures semblables dont les côtés étaient incommensurables.

Les surfaces des sphères sont entre elles comme les carrés de leurs rayons.

j On prouverait, de la même façon , que les surfaces des sphères sont entre elles comme les carrés de leurs rayons. Mais , pour le voir encore plus clairement d’une autre manière , il suffira de se rappeler que les surfaces des cercles sont entre elles comme les carrés de leurs rayons (III e part., 6), et que les surfaces des sphères sont quadruples de leurs grands cercles (69).

Les surfaces des cylindres obliques semblables sont entre elles comme les carrés des diamètres de leurs bases.

La proportionnalité entre les surfaces des corps semblables et les carrés de leurs côtés homologues est si générale, qu’elle s’applique autant aux corps qu’on ne sait pas mesurer qu’à ceux dont on connaît la mesure.

Sans savoir mesurer, par exemple , la surface d’un cylindre oblique, on peut affirmer que les surfaces de deux cylindres obliques semblables sont entre elles comme les carrés des diamètres des bases de ces cylindres : car, en inscrivant dans ces deux cylindres deux prismes semblables , de tant de faces qu’on voudra , on verra , par ce qui précède , que les surfaces de ces prismes seront entre elles comme les carrés des diamètres des bases. Donc les cylindres mêmes, considérés comme les derniers des

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prismes inscrits, auront leurs surfaces dans le même rapport.

Les solides semblables sont entre eux comme les cubes de leurs côtés homologues.

La proposition fondamentale pour la comparaison de la solidité des corps semblables est celle-ci :

Les solides semblables sont entre eux comme les cubes de leurs côtés homologues.

Cette proposition se peut démontrer comme la précédente, en considérant que les figures semblables ne diffèrent que par les échelles sur lesquelles elles sont construites.

Pour le faire voir le plus simplement qu’il nous sera possible, nous nous servirons, par exemple, des deux prismes semblables Z et z(Jig. 144 et 145 ) et des deux

cubes X et x, dont les côtés sont égaux à AB et ab , lignes analogues dans ces deux prismes; et nous prendrons de plus deux échelles AB et ab, divisées en un assez grand nombre de parties pour pouvoir mesurer les dimensions de ces solides. Or, cela posé , îl est clair qu’il se trouvera pareillement autant de cubes faits sur les parties de ab dans le prisme s et dans le cube x que de cubes faits sur les parties de AB dans le prisme Z et dans le cube X.

On ferait le même raisonnement pour tous les autres solides ; et ceux qui pourraient avoir des dimensions incommensurables seraient aussi dans la même raison que les cubes de leurs côtés homologues.

Fig. 144 .

Les sphères sont entre elles comme les cubes de leurs rayons.

D’après ce que l’on vient de voir n° 83, on peut conclure que les solidités des sphères sont entre elles comme les cubes 1 de leurs rayons : ce qui signifie que si une sphère a un rayon 4 fois plus grand qu'une autre sphère, son volume sera 64 fois plus grand que celui de la petite sphère.

1 . Pour avoir le cube d’un nombre, il faut multiplier ce nombre par lui-même et multiplier le produit encore parce nombre : ainsi, pour avoir le cube de 4, il faut multiplier 4 par 4, ce qui donne 16, et multiplier ensuite 16 par 4 , ce qui donne 64 pour le cube de 4.