PREMIÈRE PARTIE

Les triangles qui ont même base et même hauteur sont équivalents* .

De ce que dans la méthode que nous venons de donner, pour mesurer Faire ou la superficie des triangles, on n’emploie que leur base et leur hauteur, sans égard à la longueur de leurs côtés, on tire cette proposition ou ce théorème , que tous les triangles , tels que ECB , ACB ( fig . 14), qui ont une base commune CB et dont les hauteurs EF, AD, sont égales, ont la même superficie.

Lorsque la hauteur d’un triangle tombe sur le prolongement de sa base, le triangle n’en vaut pas moins la moitié d'un rectangle de même base et de même hauteur.

Pour faciliter l’intelligence du principe qui donne la mesure des triangles , nous avons cru ne devoir choisir pour base qu’un côté sur lequel pourrait tomber la perpendiculaire abaissée du sommet opposé; ce qu’on a toujours la liberté de faire , quand il ne s’agit que de la mesure des terrains. Mais parce que, dans la comparaison des triangles qui ont même base, les perpendiculaires abaissées de leurs sommets peuvent tomber hors

Fig. 14.

1. On appelle surfaces équivalentes celles qui ont même étendue, quelle que soit leur forme.

12 GÉOMÉTBIE.

du triangle, comme dans la fig. 15, il semble qu’il Fig. 15. soit nécessaire de voir si les triangles E F G tels que BCG sont dans le cas des autres, c’est-à-dire s’ils sont toujours moitié des rectangles ECBF, qui ont la perpendiculaire GH pour hauteur.

Il est facile de s’en assurer, en remarquant que le triangle CGH , somme des deux triangles CGB , GBH , est la moitié du rectangle ECHG, somme des deux rectangles ECBF, FBHG; et qu’ainsi les deux triangles CGB , GBH , pris ensemble, valent la moitié du rectangle ECHG. Or, le triangle GBH est la moitié du rectangle FBHG; donc le triangle proposé CGB est la moitié de l’autre rectangle ECBF, qui a BC pour base et GH pour hauteur.

Les triangles de même base et qui sont renfermés entre les mêmes parallèles sont équivalents.

La proposition démontrée dans les trois numéros précédents peut encore s’énoncer généralement en ces termes r Les triangles EBC, ABC, GBC ( fig . 16), sont équivalents lorsqu’ils ont une base commune BC , et qu’ils sont entre les mêmes parallèles EAG , CBH , c’est-à-dire lorsque leurs sommets E, A, G se trouvent sur une même G T D B H ligne droite EAG , parallèle à la droite CB ; car alors (il) leurs hauteurs , mesurées par les perpendiculaires EF, AD, GH, sont les mêmes.