X XI Z
on trouvera
rnî V ■ —
xJa2-\-b2+c2 \Ja2-\-b’2-\-d2 ’
si n v — V^ac' — «0 + ~ ch'f + (ab'~ ba')\
v/aa + b2 4- c2 y/ a'2 -f b’2 -j- c'2
447. Conililious pour que deux droites soient parallèles on perpendiculaires. Lorsque les deux droites sont parallèles, l'angle V est nul, et par suite cos Y = 1 . Ainsi, pour que les deux droites proposées soient parallèles, on doit avoir
(aa' + bb' + 1)! = (a’ + 6*+ 1) (a'* + 6's+ 1),
ou bien (a — a’)1 -\-(b — b')2 -f- ( ab ' — ba)2 = 0.
Or, pour que cette condition soit remplie, il faut et il suffit que l’on ait
Donc, pour que deux droites soient parallèles, il faut et il suffit que leurs projections sur deux des plans coordonnés soient parallèles.
DE LA LIGNE DROITE ET DU PLAN. 427
Lorsque les droites sont perpendiculaires, on a V = 90* et par suite cos Y = 0. Donc, pour que deux droites soient perpendiculaires, il faut que l’on ait
aaf ~f" bb' -j- 1 = 0,
OU COS a COS a'-}- cos (î COS P'-(- COSy COS/=0.
448. Problème. Déterminer la distance d'un point à une droite
dont on connaît les équations (coordonnées rectangulaires).
Soient M(x', y', z') (flg. 180) le point donné, et
:r = az-f-p,
y=bz+q,
les équations de la droite donnée AB. Menons MP perpendiculaire sur AB, joignons le point M au point A(p, q, o), trace de AB sur le plan des xy, et désignons par V l’angle MAP. Nous aurons
MÎ>,=âm’-ÂP,=ÂM,-ÂM,cos1V.
Or, AM étant la distance des points A et M, on a
ÂM*=(®'-p)*+(y'-?), + ^.
D’ailleurs, la droite AM passant par les deux points A et M,
x' — f) yr — ■ n
ses coefficients angulaires sont — 7-^ - , et l’on a (44C,
rem. III)
vV + + 1 ^ - vy + (j/' - qy+ z'1 '
428 GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE A TROIS DIMENSIONS. D'où, en posant MP= S,
ou bien, en réduisant,
(y' — bz—qy + [b(x' — p) — a(ÿ — q)]1 + (s* — as' — P)! a’ + fr*+l
expression facile à retenir. Car, en égalant à zéro les racines des trois carrés placés au numérateur sous le radical, on aurait les équations des trois projections de la droite, dans lesquelles les coordonnées courantes seraient remplacées par les coordonnées du point donné.
En faisant usage des formules du n° 441, on trouve
ô = y/(x— p)*-(- ()/ — q') -J- z'1— [(tf— p)cosa-Ht/'— ?) cosp+z'cos 7]’.
Remarque. Si le point donné est l’origine, xê, y' et z' sont nuis, et l’on retombe sur la formule du n* 439.
Exercices. I. Trouver les équations dune droite connaissant ses distances à l'origine et aux axes.
II. Trouver les équations d’une droite qui passe par un point donné, et qui fasse des angles donnés avec deux droites données.
III. Trouver les équations d’une droite gui passe par un point donné, et qui rencontre deux droites données.
§ 2. Problèmes sur les plans.
449. Comme il est très-important de se familiariser avec la recherche des équations des surfaces d’après leurs divers modes de génération, nous allons chercher l’équation du plan en considérant cette surface comme engendrée par une droite mobile qui glisse sur une droite fixe en restant toujours parallèle à une même direction.
BE LA LIGNE DROITE ET DD PLAN
Soient x=az-j-p,
y = bz + q,
les équations de la droite fixe ou directrice, et
les équations de la droite mobile, ou génératrice. Pour que la génératrice, dans son mouvement, conserve toujours la même direction, il faudra que les valeurs de a' et de b' restent constantes, tandis que les valeurs de p' et q' varieront avec la position de cette droite; et, pour que la génératrice rencontre toujours la directrice, il faudra que les valeurs correspondantes de p' et q' vérifient la relation (445)
[Si-
Tout couple de valeurs de p' et q' qui vérifie cette relation étant porté dans [1] fournira les équations de la génératrice dans une position particulière. Donc, si l’on élimine p' et q' entre les équations [1] et l’équation [2], on obtiendra une relation entre x, y et z, qui conviendra à tous les points de la génératrice, quelle que soit sa position, et qui, par conséquent, ne sera autre que l’équation du plan cherché.
En faisant cette élimination on trouve l’équation (b — b')x — (a — a') y -f- (ab1 — ba') z — (6 — 6') p + (a — a')q= 0, qui est du premier degré et de la forme
Kx -j- By Cz D = 0,
comme nous l’avons trouvé par une autre méthode (424).
450. Traces d*an pian. D'après ce qui a été dit (420, rem. I), étant donnée l’équation d'un plan
Kx -f- Bt/ -f- Cz -j- D = 0,
on obtiendra scs traces sur les plans des coordonnées en égalant successivement à zéro chacune des variables. Pour obtenir la
trace da plan donné sur un des plans coordonnés en particulier, il faudra égaler à zéro la variable relative à l’axe qui n’est pas dans ce plan. Ainsi, en faisant z = 0, on obtient
pour l’équation de la trace sur le plan xy. On obtient de môme Ax + Cx-f- D = 0,
Bij -|- ùz -f- D = 0,
pour les équations des traces sur les plans des xz et des yz.
4SI. Coordonnées A l'origine. Antre forme de l'équation du plan. Si dans l’équation d’un plan donné
Ax-f By+C::-fD = 0 [1],
on fait à la fois y = 0 et z = 0, la valeur de x tirée de l’équation
Ax + D = 0
ainsi obtenue, mesurera la distance de l’origine au point d’intersection du plan avec l’axe des x. Désignons par p cette distance ; nous aurons
Nous aurons de môme q = — g,
q et r désignant les distances de l’origine aux points d'intersection du plan donné avec les axes des y et des z. Portant les valeurs de A, B et C tirées de ces égalités dans l'équation [1] et supprimant le facteur D qui deviendra commun à tous les termes, on obtiendra.
DE LA LIGNE DROITE ET DO PLAN. 431
Remarque. L’équation générale du plan renferme quatre coefficients, qui se réduisent réellement à trois, puisqu’on peut toujours, sans altérer l’équation, diviser les deux membres par l’un quelconque de scs coefficients. Il suit de là qu’un plan est déterminé par trois conditions.
■452. Problème. Trouver la distance d'un plan à Vorigine (coordonnées rectangulaires).
Soit Ax -j- Bi / -j- Cj — j— D = 0 [1]
l’équation du plan donné. Les équations de la perpendiculaire abaissée de l’origine sur ce plan sont de la forme
Mais, pour qu’une droite soit perpendiculaire à un plan, il faut et il suffit que les traces de ce plan sur deux plans de projection soient perpendiculaires aux projections de la droite sur ces mômes plans. Or, les traces du plan donné sur les plans des xz et des yz sont (-450)
Ax -J- C z -j- D = 0,
By -{- C— D ™ 0.
Donc, pour que la droite [2] soit perpendiculaire au plan, il faut que l’on ait
Par suite, les équations de la perpendiculaire au plan donné menée par l’origine sont
ou
Désignons par S ia longueur de la perpendiculaire demandée nous aurons, en regardant x, y, z comme les coordonnées du pied de la perpendiculaire,
Remplaçant x, y etz par leurs valeurs tirées des équations [1] et [3], on obtient
Le radical doit toujours être pris avec le même signe que le numérateur.
453. Problème. Trouver les angles cf un plan avec les plans coordonnées (coordonnées rectangulaires).
Les angles demandés sont égaux aux angles que la perpendiculaire abaissée de l'origine sur le plan donné fait avec les axes. Soit
Kx -j- By -}- G z -|- D — 0
l’équation du plan donné ; les équations de la perpendiculaire à ce plan menée par l’origine sont (452)
Donc, si l’on conserve les mêmes notations qu’au n° 441, on aura
COS et =
cos P =-====, y'A’-fB' + C1
C0SY v/A, + B,+ C,‘
DE LA LIGNE DROITE ET DU PLAN
Remarque. Ce problème et le précédent peuvent encore se résoudre en identifiant l’équation
A x By -j- G z -J- D — 0
avec l’équation
cos o . x + cos p . y + cos y . z — 5 = 0,
qui peut représenter aussi, comme nous l’avons vu (424), un plan quelconque. On doit donc avoir
cos a cos p cos y — 5
T~~ b ~~c~~ TT’
chacun de ces rapports est égal, d’après une propriété connue, à
i/cos2 * 4- cos2 8 4- cos’y , 1
- — r r — -, ou à —
y'A’-fB’ + C1 v'A’+B’ + C1’
d’où il est facile de déduire les valeurs de cos«, cosp, cos y et 5.
431 Équation générale des plans qui passent par un point donné. La question revient à déterminer l’un des coefficients de l'équation générale du plan
Ax -f- By -j- Cz -j- D = 0 [ 1 )
par la condition qu’elle soit satisfaite par les coordonnées du point donné (a/, y', z'). Pour cela on a la relation
Az’-fBy’-f Ci'-|-D=0 . [2J.
Si l’on retranche [2] de [1], D sera éliminé, et l’équation
ainsi obtenue, sera l’équation demandée.
Si le point donné était l’origine des coordonnées, x', y' et z' seraient nuis, et l’équation [3] 6e réduirait à
Ax+ By-fCz = 0.
GÉOM. ANAL. 28
GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE a TROIS DIMENSIONS.
AiiÜ. Problème. Trouver l'équation d’un plan qui passe par trois points donnés (x\ y', z'), (x", y", z"), (x*',y",z"’).
En exprimant que L’équation générale du plan
Aæ + B</ + C^ + D = 0 [1]
est vérifiée par les coordonnées des points donnés, on obtient les trois relations
Xx' -}- Bq -f- Cï -j- D = 0 , Az’'+Bi/"+G=,'-{-D=0, A^'+By,"+Cz’"-f D=0
qui serviront à déterminer les rapports de trois des coefficients A, B, G, D au quatrième; en les portant dans l’équation [1], on aura une équation entre x, y et z, qui ne contiendra plus d’indéterminée ; ce sera l’équation du plan.
Remarque. Lorsque les a ses sont* rectangulaires, le même problème peut se résoudre d une autre manière qui met en évidence un théorème assez remarquable. Prenons l’équation du plan sous la forme (éî f )
ï cos a -f- y cos [1 + a cos y = S,
a, p. f désignant les angles que la perpendiculaires abaissée de l’origine suite plan fait avec les axes. Si l’on désigne par a l’aire du triangle qui a pour sommets les trois points donnés, et par a', a', a les projections de cette aire sur les plans des ys, zi , xy, on aura
a'—acoiv, o'=acosp, a":=acosy.
Par suite l’équation du plan devient
. ax -f- a"y -f aS’Z—ai.
Cette équation est l’expression de ce théorème: Toute pyramide est équicalente d la somme (algébrique) de trois autres pyramides ayant pour somme! commun un point quelconque de la base de la première, et pour bases respectives les projections de cette base sur trois plans rectangulaires qu /conques passant par le sommet de la pyramide considérée.
■4ÜG. Problème. Déterminer l'angle de deux plans (coordonnées rectangulaires)*
Si par l’origine des coordonnées on conçoit deux droites respectivement perpendiculaires aux deux plans, l’angle de ces per-
DE LA LIGNE DROITE ET DD PLAN
pendiculaires sera égal à l’angle demandé. D’après cela, la question proposée revient à chercher l’angle Y de ces deux perpendiculaires.
Or, si Ax-j-By-f-Cr-t-D =0,
A'ar+ÎJ2/+C's+D' = 0,
sont les équations des deux plans donnés, les équations des perpendiculaire? à ces plans menées par l’origine seront (4ô2)
et
L’angle V de ces droites, et par suite l’angle demandé, sera donc donné par la formule (446, rem. III)
,, AA'-fBB'+CC'
