COS P

cos y

ou înP = ?L=i=^.

COS a COS (J COS Y

442. Problème. Étant données les équations d’une droite, trouver les angles qu’elle fait avec les plans coordonnés (coordonnées rectangulaires).

On peut toujours supposer que la droite passse par l’origine ;

et, dans ce cas, on voit immédiatement que les angles demandés sont les compléments des angles qu’elle fait avec les axes. Donc, si l’on conserve les mêmes notations que dans le problème précédent, on aura

singer Sin S= -, Sin 7 = — ■ :

v/a*-+- 6*-|- 1 yja1 -f- -j- 1 x/a*H-6s-(- l

4 45. Problème. Trouver les équations d’une droite qui passe par un point donné et qui soit parallèle à une droite donnée.

Cherchons d’abord les équations générales des droites qui passent par un même point ( x , y1, z'). Les équations de ces droites sont de la forme

x = az-^-p,

y = bz + q,

et, puisqu’elles passent par le point donné, on doit avoir

En retranchant ces équations des précédentes, p et q sont éliminés, et l’on a

qui sont les équations demandées.

Maintenant, pour avoir les équations d’une parallèle à la droite

x = a'z 1 y — b'zj

menée par le point donné, on observe que les équations de cette parallèle sont de la forme [1]. De plus, on sait que les projections de deux droites parallèles , sur un même plan , sont parallèles. Donc, on doit avoir a=a', b=b' ; par suite, les équations demandées sont

DE LA LIGNE DROITE ET DU PLAN

Remarque. Si l’on appelle a , p , q les angles que la droite i 2] lait avec les axes, on aura (441, rem. Il)

, cos a , , cos 3 .

COS y COS y

ce qui permet d’écrire les équations [3 J sous la forme très-symétrique

cos * ~~ cos p ~ ' cos y ’

444. Problème. Trouver les équations (Tune droite qui passe par deux points donnés (x', y', z') (x", y", z").

Puisque la droite passe par le premier point ses équations peuvent se mettre sous la forme

y — yf = b(z-z'),

et puisqu’elle passe par le second point, on doit avoir

x" — x' — a(z" — z'), if — li =è(s* — z1).

Éliminant a et b entre ces équations et les précédentes , on obtient les équations demandées

y — Vf —

ou

Remarque. On aurait pu écrire immédiatement ces équations en se rappelant ce qui a été dit au n* 70, et en remarquant que la projection de la droite demandée sur le plan des xz passe par les points (x', s1) (x*, z*), etc.

443. Problème. Déterminer le point d'intersection de deux droites dont on connaît les équations.

En général, lorsque deux lignes se coupent, les coordonnées de leurs points d’intersection vérifiant à la fois les équations de ces lignes, et réciproquement toute solution commune aux équations des deux lignes détermine un point qui appartient à la fois à ces deux lignes.

D’après cela, si ] W

et

sont les équations des deux droites données, on aura le point d’intersection demandé en résolvant les équations [1] et [2] par rapport à x, y et z. Mais pour que ces quatre équations à trois inconnues admettent une solution commune, il doit exister une certaine relation entre leurs coefficients. Cette relation, qu’on obtiendra en éliminant x, y et z entre les quatre équations, exprimera la condilion nécessaire pour que les droites sc rencontrent.

Si l’on retranche membre à membre les équations [2] des équations [1] correspondantes, x ely sont éliminés, et il vient

d’où, en égalant les valeurs de s tirées de ces équations,

Telle est la relation qui doit exister entre les coefficients des équations [1] et [2] pour que les deux droites qu’elles représentent se rencontrent. En admettant que cette relation soit vérifiée, on trouve pour les coordonnées du point d’intersection,

ap' — pa' .bq ' — qb' __p—p' g— g’

Remarque. Lorsque les droites sont parallèles, on a a = a' et

DE LA LIGNE DROITE ET DD PLAN

b = b'; la relation [3] est encore vérifiée, mais les valeurs des coordonnées du point d’intersection sont infinies. Comme le cas où les droites se rencontrent et celui où elles sont parallèles sont les seuls où ces droites soient situées dans un même plan, on peut dire que l’équation [3] exprime la condition nécessaire pour que les droites représentées par les équations [1] et [2] soient dans un même plan.

446. Problème. Trouver l’angle de deux droites dont on connaît les équations (coordonnées rectangulaires).

Concevons par l’origine des parallèles aux droites données, l’angle V de ces deux parallèles sera l’angle demandé. Désignons par a, p, y; P’, i les angles de ces parallèles avec les axes, et soient

et \X = 0!Z y = bz) [y — bz

leurs équations. Nous aurons (406. Th. V)

cos V = COS a COS a’ -}- COS P COS p' -f- COS Y COS y',

et(44i) cos a = — =

COS a =

Par suite

cos V =

cos Y =

aa' + bb' + 1

Les radicaux doivent être pris avec le même signe -4-, si, comme nous l’avons supposé implicitement, V désigne l’angle des deux portions de parallèles situées au-dessus du plan des xy ; ils doivent être pris avec des signes différents, lorsque V désigne l’angle formé par deux portions de parallèles situées de part et d’autre du plan des xy.

Remarques. I. Comme vérification, on peut chercher à déduire de la formule qui donne cos Y, celles du n° 441, qui expriment les cosinus des angles qu’une droite fait avec les axes