MP MP

OP- a’ OP

a’ Qp« at

Il résulte de là que les triangles MPO, M'PO, M'P"0 sont semblables, comme ayant un s . angle égal compris entre cOtés pro-

T portionnels ; les angles en O sont

I \ donc égaux, et par conséquent les

f \ o ü!r -■ directions MO, M'O, M'O se con-

v r \ j fondent, c’est-à-dire que les points

\j M, M’, M* sont sur une ligne

M \ droite passant par l’origine. On ar-

v riverait au même résultat dans le

' cas représenté parla figure 31.

F'g 3i. Le lieu représenté par l’équation

y = ax est donc une droite passant par l’origine.

/ Revenons maintc-

TJ ^ Iiant ^ liquation

/ y = ax -j- b. Soient

' M, M’, M* (fig. 32),

y xj- — r différents points du

H I lieu ; menons leurs

ordonnées MP, M'P', P" 1^1 MT". Soit M" la

; droite représentée par

l’équation y = ax :

F’g- 32. les points N, N', N" de

cette droite situés sur MP, M F, M' P', ont pour ordonnées NP,

N'P', N"P", lesquelles sont égales aux ordonnées MP, M P’, M'P", diminuées algébriquement de b. On a donc

MN == M’N' = M"N"= b. .

Ainsi, les droites MM', MM", M'M", sont parallèles à NN", et se confondent par conséquent.

Donc le lieu représenté par l’équation y = ax -f- b est une droite parallèle à celle que représente l’équation y—ax.

Remarques. I. On a vu au n° 9 qu’une droite est représentée par une équation du premier degré; on vient de démontrer, dans celuici, que réciproquement toute équation du premier degré représente vne droite.

II. Si l’on n’admet pour o et b que des valeurs finies, la forme y^=ax-\- b est moins générale que la forme Aar+By-f C = 0, puisque cette dernière comprend le cas où y disparaît, c’est-àdire où la droite est parallèle à l’axe des y, cas qui n’est point compris dans la première. Mais la première forme est aussi générale que la seconde, si l’on admet pour a et b des valeurs infinies. Le cas particulier de x=constante s’obtient alors en supposant que a ci b deviennent infinis, leur rapport restant fini: car en divisant par a on trouve

et en faisant a = œ cl — e, il vient o=x — c, oui=f, qui représente une parallèle à l’axe des y.

05. Rcsumé. En résumé, toute équation du premier degré, à une ou deux variables, représente une ligne droite. On dit, à cause de cela, qu’une expression est linéaire par rapport à des quantités quelconques a, b, x, ..., lorsqu’elle est entière et du premier degré par rapport à ces quantités. Les formules qui servent à la transformation des coordonnées sont des fonctions linéaires des coordonnées nouvelles.

04. Coordonnées ft l’origine; coefficient angulaire. Les COCf-

ficients a et 6 ont une signification géométrique qu'il est important de connaîlre.

Soit ABM (fig. 33), la droite représentée par l’équation y=ax-\-b.

Soient A et B les points où elle rencontre les axes; soit M un point quelconque de la droite, MP son ordonnée ; menons BQ parallèle à OX. Soit 6 l’angle des axes ; appelons « l’angle MAX que la droite — fait avec la partie positive de l’axe des a:, angle qui estaussi égal à MBQ.

Fig. 33. On remarquera d’abord que l’or-

donnée du point B peut s’obtenir en faisant x=o dans l’équation de la droite : car le point B est le seul point de la droite dont l’abscisse soit nulle; on obtient ainsi y=b.

Le coefficient b représente donc l’ordonnée du point où la droite rencontre l’axe des y; c’est ce qu’on appelle l’ordonnée à l'origine. On obtient de même l 'abscisse à l'origine ou OA en faisant y = o

dans l’équation de la droite, ce qui donne x — —

Maintenant, le triangle MQB donne

MQ sin MBQ

BQ — sin BMQ‘

Or MQ = MP — PQ = MP — OB = y — b=ax,

BQ = x, MBQ = a,

BMQ = MBY = YBQ — MBQ = 6 — «.

L’égalité ci-dessus devient donc

ax sin o

— ou a —

Le coefficient a est donc le rapport des sinus des angles que la droite fait avec les deux axes coordonnés. C’est ce qu’on appelle le coefficient angulaire de la droite.

Lorsque les axes sont rectangulaires, ce coefficient n’est autre chose que la tangente trigonométrique de l’angle que la droite fait avec l’axe des x : car l’équation [3], lorsqu’on y fait 0 = 90°, se réduit à

o = tang a.

C’est ce qu’on peut aussi voir directement, attendu que le triangle MBQ est alors rectangle au point Q, et donne

tt1: = tang MBQ = tanga.

Ci». Droites parallèles. Le coefficient angulaire ne dépendant, pour un même système d’axes, que de l’angle », est le même pour des droites parallèles à une même direction, et change pour toutes les droites de directions différentes. La condition analytique nécessaire et suffisante pour que deux droites soient parallèles est donc quelles aient le mérite coefficient angulaire. Ainsi les droites représentées par les équations

sont parallèles.

CG. Coustrnrlion d'nnc droite donnée par son équation. Oll

peut construire une droite, connaissant son ordonnée à l’origine et son coefficient angulaire. Pour cela, on tire de la relation [3] ci-dessus la valeur de » en fonction de 6 et du coefficient angulaire donné a. On trouve

tanga

asinO 1 + a cos ô’

Celte formule n’est point calculable par logarithmes; mais si l’on prend pour inconnue tang (a — £û), on obtient la formule logarithmique :

tang(a— te) — l=itang,j9 [4],

d’où l’on déduit a — £ 0 et par suite a.

Cela fait, on porte sur l’axe des y, à partir de l’origine et dans le sens convenable,, une distance OB algébriquement égale à b

(fig. 33) ; par le point B on mène BQ parallèle à l’axe des x, puis une droite BM faisant avec BQ un angle égal à a, BM est la droite demandée.

Soit, par exemple, l’équation 2y + 3x=l , d'où ÿ = — Jx + ii les aies étant supposés taire un angle de 80* , la formule [4J donne

tang (a— 40*)= + 5.tang 40“ ,

d’où l’on tire successivement

log tang (*— 40*)=0, 6989700 + 9, 9238135 = 10, 6227835,

« = 11G«35'37",1; d’ailleurs & = + î-

L’équation proposée représente donc la droite indiquée par la figure 34.

Toutefois, il est ordinairement plus avantageux de construire la droite au moyen des points où elle rencontre les axes.

G7. Réciproquement : si l’on donne b et a, on aura a— ,,

et l’équation de la droite s’obtiendra sans difficulté.

Supposons, par exemple, qu’une droite, rapportée à des axes faisant entre eux un angle de 60°, rencontre l’axe des y à une distance de l’origine égale à 2 unités linéaires, du côté des y négatifs,

cl qu’elle fasse avec l’axe des x un angle de 120°. On aura 0 = 601, a= 120°, d’où

sin 120° , .

a~ sin( — 60°) *’

d’ailleurs on donne b = — 2; l'équation de la droite sera donc y — — x — 2.

GO. Formes diverses de Fêqaaliou d'une droite. L’équation d’une droite est encore susceptible de plusieurs autres formes qu’il est nécessaire de connaître.

Équation aux coordonnées A l'origine. On a VU au n° 05 que

l’ordonnée à l’origine est b et que l’abscisse à l’origine est —

Posons

b=q et = », d ou a = —

Si l’on met ces valeurs dans l’équation y = ax-\- b, elle devient

d’où - + - = 1 - 15],

Telle est l’équation de la droite en fonction des coordonnées il l’origine.

Par conséquent, si l’on a une équation telle que