Soit, à construire
tanga;
ac — bd’
on en tire, en divisant les deux termes par ac,
tang x =
l’osons tang y = ^ et tang r = ^; ces angles se construisent facilement d’après la règle donnée ci-dessus, et il vient ;
tang y + tang s , ...
tang x = ■■ — f ^ n — t-£ — = tang (y -f z),
1 — tangi/. tang z ° a '
c’est-à-dire que x est la somme des angles y et s. Soit à construire
sm x —
— v/fl* — oô •
on peut écrire :
sioar==y/ n-| — \J
CONSTRUCTION DES EXPRESSIONS ALGÉBRIQUES. 43 celte formule ne pouvant Être réelle qu’autant que b est moindre que a, on peut poser sin y on a alors
sin x = yjï —J— -sin y — y"1 — sin V — sin f y ,
c’est-à-dire que l’angle a; est la moitié de l’angle y.
(Nous avons admis implicitement dans ces deux exemples qu’il s’agissait du plus petit des angles dont on donne lu tangente ou le sinus.)
42. C’est ici le lieu de remarquer 'que la considération des angles aide souvent à construire les formules qui représentent des lignes.
Par exemple, l’expression
\/a* — a36 — ab 3 -f- 6‘ a-|-fc ’
peut être mise sous la forme
ab
{a + bf
Le produit ab étant toujours moindre que (a-f- è)*( si on cherche une moyenne proportionnelle m entre a et à, elle sera moindre
. fil
que a -f- b ; on pourra donc poser sin y = et construire 1 1 gle y par la règle du n° 40. La valeur de x deviendra alors
an-
x=(a — b ) yO — sin’y — (a — è)cos y.
L’angle y étant déjà tracé, on prendra sur l’un de ses côtés, à partir du sommet, une longueur égale à a — b; et la projection de celte longueur sur l’autre côté sera la valeur de x.
Ces constructions peuvent être liées comme l’indique la figure 22. On prendra , sur une môme droite , AB = a et BC = b ; sur AG comme diamètre on décrira une demi-circonférence ; on élèvera Fig. aj. en B la perpendiculaire BD ; du point C
comme centre, avec BD pour rayon, on tracera un arc de cercle
qui coupera la demi-circonférence en un point E; on joindra AE ; on prendra BG' = BC, et du point C' on abaissera sur AE la perpendiculaire C'P. La longueur AP sera la valeur de x.
43. Construction des surfaces et des volumes. L’inCOnUUC d’un problème peut être une surface ou un volume.
Dans le premier cas, l’expression obtenue doit être homogène et du second degré. On pourra toujours représenter cette surface par un rectangle dont on se donnera arbitrairement la base a; et l’on n’aura plus qu’à construire la hauteur x de ce rectangle. S représentant, pour abréger, l’expression obtenue pour la surface en question, on a
bx — S: d’où x = ~.
Or le numérateur S étant homogène et du second degré, la valeur de x sera homogène et du premier degré ; et l’on saura la construire par les méthodes exposées ci-dessus. On pourra profiter de l’indétermination de a pour simplifier les opérations s’il y a lieu.
Dans le cas où l’inconnue est un volume, l’expression obtenue doit être homogène et du troisième degré. On peut toujours représenter ce volume par un parallélépipède rectangle dont on se donne deux dimensions a et b; et l’on n’a plus à construire que la troisième dimension, que nous appellerons x. Si V représente alors, pour abréger, l’expression obtenue pour le volume en question, on aura
cbx — Y ; d’où x=\.
’ ab
Le numérateur V étant homogène et du troisième degré, la valeur de x sera homogène et du premier degré ; et l’on saura la construire. On profitera de l'indétermination de a et de b pour simplifier les opérations si cela est possible.
U. Les élèves pourront s'exercer à construire : l’ les racines des équations : ax3+b3i + eï = 0; aï + W +e‘=0;
2* les lignes représentées par
:r les angles donnés par les relations :
sin x = tangx
/ ab — cd .
V ab + cd'
iinj=.i/2 — - ,
Va + b
sin x—
‘<JZ+T '
tangx =
2 ah
4* la surface qui a pour valeur
y/a‘ — 4 aHi ■+- 6a:6J — 4a(i J"; 5" le volume donné par l’expression
3a’t> + v,<*‘bî — îa’be* -f- 2c*.
4o. On a vu, au n° 10, que l’équation du cercle prend une forme plus ou moins simple, suivant le système de coordonnées auquel on le rapporte. Si l’on prend des axes obliques quelconques, l’équation est, comme on l’a vu,
(•f — «y + (!/ — P)’ •+• 2 (X — «) (y — P) COS 0 = r« ;
si l’on prend des axes rectangulaires passant par le centre, die se réduit à
ar* —J— y* = r*.
L’équation de la droite elle -même, qui est, en général, delà forme
y = ax + b,
se réduit à y = ax, quand l'origine est un point de la droite; et même à y = 0, si l’on prend pour axe des x la droite ellemême (9).
Ces deux exemples suffisent pour foire comprendre l’avantage qu’il y a, dans certains cas, à déduire de l’équation d’une courbe
4ü -CÉ0MÉTR1E ANALYTIQUE A DEUX DIMENSIONS.
par rapport à de certains axes l’équation de la même courbe par rapport à d'autres axes ; c’est en cela que consiste le problème de la transformation des coordonnées. Il est facile de voir qu’il se réduit analytiquement à exprimer les coordonnées anciennes en fonction des nouvelles; car si l’on remplace alors, dans l’équation d’une courbe, les anciennes coordonnées par leur valeur, on aura une relation constante entre les coordonnées nouvelles, qui représentera la courbe rapportée aux- nouveaux axes.
Mais avant d’aborder ce problème, nous allons exposer quelques notions relatives aux projections.
'<<>. Notions «}nr les projections. DÉFINITION I. La projection
orthogonale d'un point A (fig. 23) sur un axe X’X, est le pied A' de la perpendiculaire abaissée du point A sur cet axe.
- Fig. 33.
II. La projection orthogonale d'une droite de longueur donnée AB (fig. 23) sur un axe indéfini et situé dans le même plan, est, à un point de vue purement géométrique, la distance absolue A'B' des projections de ses extrémités.
17. Toutefois, afin de généraliser les formules, on convient de regarder la projection d’une droite comme une quantité algébrique. Ainsi, pour déterminer le signe de la projection d’une droite AB (fig. 23), on imagine que cette droite est parcourue par un point mobile, partant de l’une de ses extrémités, en même temps que la projection de ce mobile parcourt la projection A'B' de celte droite. Alors, si la projection du mobile se meut dans le sens de la partie positive de l’axe X X, pour décrire A B', on considère cette dernière projection comme positive; mais on la considère comme négative dans le cas contraire.
Il résulte de cette convention que, si le mouvement du mobile fictif change de sens, la projection de la droite change de signe. Nous indiquerons d’ailleurs le sens du mouvement pur l’ordre des lettres qui désignent la droite que Ton projette. Ainsi, d’après ces conventions, on a
proj. AB = — proj. BA.
48. Théorème. La projection d'une droite limitée AB (fig. 23) sur un axe indéfini X'X, est égale algébriquement , c'est-à-dire pour la grandeur et pour le signe, au produit de lu longueur absolue de AB par le cosinus de l'angle que la direction AB fait avec la partie positive de l'axe X’X, rcl angle pouvant varier de O à 180°.
Convenons de compter les longueurs positives de X' vers X, et supposons d’abord que AB (fig. 24), fasse un angle aigu avec X X. La projection A'B' est positive, et si nous menons AU parallèle à X'X, on a A'B'=AD. Cela posé, le triangle rectangle AB1) donne
AD = AB cos BAD = ABcos (AB, X'X); donc proj. AB = AB cos (AB, X'X).
Fig. 24. Fig. 25.
Supposons maintenant que AB (fig. 25) fasse un angle obtus avec X'X. La projection de AB est négative et égale à — A'B'. Si nous menons encore AD parallèle à X'X, nous avons
A'B' = AD = AB cos BAD.
Or BAD= 180» — BAD' = 180° — ang (AB, X'X),
d’où cos BAD = — cos (AB, X'X),
et A'B' =— ABcos(AB>XX);’
par conséquent — A'B' = AB cos (A B, X'X) .
c’est-à-dire proj. AB=AB cos (AB, X'X).
Ce théorème est vrai , quelTfc que soit la position de la droite AB par rapport à l’axe X’X. Nous engageons les élèves à répéter la démonstration pour d’autres positions de AB.
40. Théorème. La somme algébrique des projections des côtés d’un contour polygonal feimé, sur un axe quelconque, est ég'ale à zéro.
Soit ABCDEFA (fig. 26) un contour rectiligne fermé. Imaginons qu’un mobile parti du point A parcoure tout le contour, toujours dans le môme sens, et revienne au point A. La projection de ce mobile sur l’axe X'X parcourt elle-même les x projections des côtés du contour. Or elle part du point A', projection du point de’départ A du mobile, et revient à ce même point A'. Donc la somme algébrique de toutes les projections des côtés du contour est nulle, ce qu’il fallait démontrer.
Corollaire. Si nous désignons par a, b, c.... I, les valeurs absolues des côtés d’un contour fermé , et par a, p, y—.X les angles que les directions de ces côtés font avec la partie positive de l’axe de projection, nous aurons, en vertu de ce qui précède,
a cos a + 6 cos p -f- c cos y + •••• + * cos X = 0, ou, plus simplement, Sa cos a = 0, la lettre X tenant lieu du mot somme.
80. Lorsque le contour que l’on projette n’est pas fermé, on nomme résultante de ce contour la droite qui joint le point de départ du mobile fictif au point d’arrivée.
Théorème. La projection de la résultante d’un contour polygonal est égale à la somme algébrique des projections de ses côtés.
Soit ABCDEFG (fig. 26) un contour polygonal non fermé, et soit AF la résultante. Le contour ABCDEFA étant fermé, on a (49),
proj. AB-)-proj.BC-j-proj CD-j-praj. DE-j-proj. EF-f-proj. FA=0.
Mais (47)
proj. FA = — proj. AF ;
donc
proj. AF = proj. AB -f- proj. BC proj . CD -)- proj. DE -f- proj. EF.
TRANSFORMATIQN DES COORDONNÉES.
Corollaire. Si l'on projette sur un même axe deux contours rectilignes dont les extrémités coïncident, les projections de ces deux contours non fermés sont égales.
Si. Ces notions établies, nous revenons aux formules propres à changer d'axes.
La transformation la plus générale consiste à changer à la fois l’origine et la direction des axes; mais il est plus simple de faire la transformation en deux fois : on transporte d’abord les axes parallèlement à eux-mêmes, puis on change leur direction sans changer d’origine.
Première transformation. NOUS supposerons d'abord (JUC
l’axe des]# reste le même, et que le nouvel axe des y soit parallèle à l’ancien. Soient OX et OY (lig. 27) les anciens axes; soit O'Y’ le nouvel i axe des y. Considérons un point quelconque M du plan; menons MP parallèle à OY. Appelons x l’ancienne abscisse du point M, x' la nouvelle, et a l’abscisse de la nouvelle origine par rapport à l’ancienne.
Les points O, O' et P ne pourront avoir que six positions relatives.
Dans le cas de la figure, on aura
x= OP, x' = O'P, a = 00', et OP = 00' + O'P; d’où x=a-\-x'.
Dans le cas où P serait entre 0 et 0', on aurait
x = OP, + = — OP, a=00' et 0P = 00'-0P;
d’où x = a — (—x’) ou a: = a + x'.
On reconnaît aisément que, dans tous les cas, on a la mémo formule
x=a-\-xl.
GEOM. ANAL.
i>2. Si, au contraire, l’axe des y restait le môme, et que le nouvel axe des x fût parallèle à l’ancien , on verrait d'une manière semblable qu’en nommant y l’ancienne ordonnée, y' la nouvelle, et b l’ordonnée de la nouvelle origine par rapport à l’ancienne, on a dans tous les cas
iî3. Si donc on transporte à la fois les deux axes parallèlement à
eux-mômes; par exemple, de la position OX, OY (fig. 28) à la position O’X’, O'Y', en nommant a; et y les coordonnées d’un point quelconque M du plan par rapport aux anciens axes, x' et y' les coordonnées du môme point par rapport aux nouveaux, et a et b les coordonnées de la nouvelle origine O' par rapport aux anciens axes, on aura en môme temps
x = a + x' et y = 6-fy';
et , d’après ce qui a été démontré tout à l’heure , ces formules seront applicables à tous les cas.
Telles sont les formules qui servent à passer d’un système d’axes coordonnés à un nouveau système d’axes parallèles aux prcriTîers.
Pour en montrer sur-le-champ l'usage, supposons qu’un lieu géométrique soit représenté en coordonnées rectangulaires pir l’équation
*> + yJ — 6x + t,y+ 12=0.
Transportons les aies parallèlement i eui-mèmes, soient a = 3 et b =: — 2 les coordonnées de la nouvelle origine, nous aurons
* = i'+3 et y = y' — 2 .
F.n substituant ces valeurs dans l’équation précédente , on trouve qu’elle se réduit à
équation qui représente un cercle dont le rayon est 1 , et dont le centre est à l’origine des nouvelles coordonnées.
i»4. Deuxième transformation. Soient OX et OY (Plg. 29) k’S anciens axes faisant entre eux un angle 0; OX' et O Y' les nouveaux axes faisant respectivement avec O des angles que nous appellerons a et soit M un point quelconque du plan; menons WP parallèle à O Y et MP' parallèle à OY'. Il s’agit d’exprimer les coordonnées anciennes du point M, OP et MP, en fonction de ses coordonnées nouvelles OP' et MF.
Pour cela, menons d’abord une droite OA perpendiculaire à OY’, et par suite à MP; et projetons sur cette droite les côtés successifs du polygone OP'MPO, que nous supposerons parcourus dans l’ordre indiqué par les lettres. Les deux premiers côtés seront parcourus dans le sens qui leur est propre, c’est-à-dire de O vers F et de P' vers M, ou de O vers X' cl vers Y'; les deux derniers seront, au contraire, parcourus dans un sens opposé à leur direction propre, c’est-à-dire de M vers P et de P vers O, on de Y et X vers O. D’après ce qui a été établi au numéro précédent, les valeurs des projections de ces côtés seront donc :
-f x'cos(X',A), -J- y' cos (Y’’, A), o et — .rcos(X,A).
Mais OA étant perpendiculaire à OY’, on a AOX — 90° — 0; d’ailleurs,
X'OA = X'OX -f AOX = a + 90° — 8 = 90° — (0 — *)
Y'OA = Y'OX + AOX = a'-f 90° — 0=90° — (0 — *').
Les projections con.-idérées ont donc respectivement pour valeur
+ a:'sin(0 — a), y' sin (ô — a’), o et — a-sinO.
Or, d'après le théorème du n° 49, la somme algébrique de ces projections doit être nulle; on a donc
x' sin (0 — a) -f y' sin (0 — a') — x sin 0 = o,
d’où
a;’ sin (0 — *) -f y’ sin (6 — *’) sin 0
Menons, en second lieu, une droiteOB perpendiculaire à OX, et projetons sur cette droite le môme contour polygonal; les projections des côtés sont respectivement :
-fa:’ cos -f-;/' cos (Y’, B), — y cos (Y, B) et o;
mais OB étant perpendiculaire à OX, on a BOY = 90° — 0, d’ailleurs
X’OB = 90° — X'OX = 90° — a
Y'OB = 90° — Y’OX = 90* — a'.
Les projections considérées ont donc respectivement pour valeur
-fa:' sin «, -fy'sina', — y sin 6 et o.
Or la somme de ces projectioils doit être nulle en vertu du théorème du n° 40 ; on a donc
d’où
a;' sin a-|- y' sin a' — i/sinO=o, x' sin a -f y' sin a'
sin u
Les formules Ll] et [2] sont celles qu’il s’agissait d’établir. Elles sont applicables à tous les cas, puisquc-Ie théorème du n° 40 est général. Elles se simplifient dans quelques cas particuliers que nous allons examiner.
53. Passer d'un système d’axes rectangulaires à un système d'axes obliques. Si le premier système d’axes était rectangulaire , on aurait 6 = 90°; et par conséquent les formules [1] et [2] du numéro précédent deviendraient
x = x' cos a -f ÿ cos a’ et y =x' sin a -f y' sin a'.
Pour donner un exemple de leur usage , supposons qu’une courbe ait pour équation en coordonnées rectangulaires
ftr> — 16y’ = 144.
Passons à un système de coordonnées obliques, en prenant pour nouvel axe des abscisses une droite faisant avec l’ancien un angle négatif dont la tangente a pour valeur — î, et pour nouvel axe des ordonnées une droite faisant avec l’ancien axe des x un angle dont la tangente a pour valeur + J. On aura
tang a = — J , d'où sin a = — 0 ,6 et cos a = + 0 ,8,
tanga' =+ J, d’où sin a' = + 0,6 et cos a' = + 0,8.
Les formules ci-dessus deviennent
x = O.Sx1 + 0,8y’ et y = — + 0,Gy'.
Substituant ces valeurs dans l’équation de la courbe, et réduisant, on obtient
23,04xy = 144 ou l'y* = 6,25
pour l’équation de la même courbe rapportée aux nouveaux axes.
«Jt$. Passer cl’un système d'axes obliques à un système d’axes rectangulaires. Si, le premier système d’axes étant oblique, le second était rectangulaire, on aurait a — a = 90° ou a' — a = 270°.
Lapremièresuppositiondonnea' = a-j- 90°, 0 — a =9— a — 90°; par conséquent : sin (9 — a') = — cos (0 — a) et sin a' = cos a. Par suite, les formules du n° 84 deviennent
æ'sinfO — a) — u'cos(9 — a) , x' sin a 4- n1 cos a
x = s — y i ' et y = .
sin 9 J sin 9
La seconde supposition conduirait à des formules qui ne diffèrent des précédentes qu’en ce que y' y est changé en — y', ce qu’on pouvait d’ailleurs prévoir.
Comme application des formules ci-dessus, supposons que l’équation d’une courbe rapportée à des axes faisant entre eux un angle de 6 (f, soit
& + xy + y2 = î ,
et qu’on veuille la rapporter à des axes rectangulaires en conservant l’axe des*. On a , dans ce cas, 6 =60* et a = 0. Par conséquent
,cos r,o* ** sin GO*
et y
’ sin 60*.
Or cos CG* = J , sin GO* = les formules à employer reviennent donc à
et
Sub.-tituanl ces valeurs dans l'équation de la courbe, on trouve
pour l'équation de la même courbe rapportée aux nouveaux axes.
i>7. Passer d'un système d’axes rectangulaires à un autre système (F axes rectangulaires. Si, enfin, il s’agissait de passer d’un système d’axes rectangulaires à un autre système d’axes rectangulaires, il faudrait dans les formules du numéro iî4 faire en même temp£ 6 = 90° et a’ = a-(- 900; ce qui revient à faire û = 90® dans les formules du numéro précédent. On trouve ainsi
x=x' cos a —y sin a et y = ar'sin*-|-î/'cosoi.
Remarques. I. Ces deux formules sont comprises dans la suivante, qui peut servir à les faire retenir, ,
X + ÿ ^ + yV— ï) (cos a + sin x.yj— l).
II. Comme application de ces formules, on peut s’assurer que l’équation du cercle, rapportée à des axes rectangulaires passant par son centre, reste la même, quel que soit le système de ces axes. Si, en effet, dans l’équation
on remplace x et y par les valeurs que donnent ces formules, on obtient
équation qui est exactement la même.
III. Dans le cas où les nouveaux axes rectangulaires sont préci-
sèment les bissectrices des angles formés par les premiers axes rectangulaires, on a
. SÎn a = COS a = ^ 2
par conséquent les formules ci-dessus deviennent
et
88. T ransformallon générale. Si l'on VCllt Cil même temps changer l’origine et la direclion des axes, on pourra obtenir trèssimplement les formules à employer.
Transportons d'abord les axes parallèlement à eux-mêmes; et soient x * et y“ les coordonnées dans le nouveau système d’axes parallèles aux anciens ; on a vu (83) qu’il suffit de poser
x — a a? et y = b-\-y“;
a et frétant les coordonnées de la nouvelle origine par rapport aux anciens axes.
Changeons maintenant la direction des axes, en conservant la nouvelle origine; il faudra appliquer pour cela les formules du n“ 84 ; et l’on aura, en appelant x! et y' les coordonnées dans ce nouveau système,
g x' sin (0 — «) -f- !/’ sin (9 — a’) ^ as’sin a-j-y'sina
sin 9 ^ süTo
Par conséquent, en remplaçant a!' et y" par ces valeurs dans les formules qui précèdent, on aura les formules les plus générales pour la transformation des coordonnées rectilignes, savoir :
. a;' sin (9 — «) + y’sin(9 — a')
1 sin û
. , x' sin « 4- y' sin a'
J ' sin û
Remarques. I. Ces formules sont de la forme
x—a-\-mx/-\-ny' et y = fr-j-px'-f-yy',
c’est-à-dire du premier degré en a / et y7. Si l’on voulait effectuer la transformation inverse, c’est-à-dire revenir des nouveaux axes
aux anciens, il faudrait remplacer x' et y' par leurs valeurs en x cl y tirées des relations ci-dessus; et il est aisé de voir que ces valeurs seraient aussi du premier degré en a; et y. Il en résulte' que si l’on remplace a; et y par leurs valeurs en x' et y' dans l’équation d’une courbe supposée algébrique, le degré de cette équation ne pourra pas s’élever. Il ne peut pas s’abaisser non plus, puisqu’il faudrait que ce degré s’élevât en revenant du nouveau système à l’ancien.
II. Mais il pourrait, dans certains cas, arriver que l'équation s’abaissât, par rapport à l’une des deux coordonnées. Si, par exemple, une courbe rapportée à des coordonnées rectangulaires a pour équation
xs — 3xy + yi=o,
et qu’on prenne pour axes nouveaux les bissectrices des angles formés par les premiers, on obtient pour l’équation de la courbe rapportée aux nouveaux axes
équation qui n’est plus que du second degré par rapport à y.
lîD. Classification «les lignes. Une ligne est dite algébrique ou * transcendante, suivant que son équation est algébrique ou transcendante par rapport aux coordonnées x, y.
Il résulte des remarques précédentes que le degré d’une équation algébrique est un caractère permanent de la courbe qu’elle représente, c’est-à-dire un caractère qui subsiste quel que soit le système d’axes adopté. A cause de cela, on classe les lignes algébriques d’après le degré de leur équation. Ainsi, une ligne algébrique est dite du mm* degré ou du nime ordre lorsque l'équation qui la représente est du m"e degré.
Toutefois, pour qu’une équation du m" degré représente une ligne de l’ordre m, il faut que cette équation soit irréductible, c’est-à-dire ne puisse pas se décomposer en facteurs: car, dans le cas contraire, l’équation proposée représenterait, en réalité, autant de lignes qu’elle admettrait de facteurs, et chacune de ces lignes serait d’un ordre inférieur à m.
D'après celte remarque, on obtiendra une équation représentant simultanément plusieurs lignes en multipliant membre à membre les équations de ces lignes, après avoir fait passer tous les termes de chacune d’elles dans son premier membre. Ainsi, les deux lignes représentées par les équations A = 0, B = o sont représentées par l’équation unique A. B = 0. Nous disons qu’il faut faire passer tous les termes de chaque équation dans son premier membre: car, autrement, on obtiendrait l’équation d’une ligne passant seulement par les points d’intersection des lignes représentées par les équations proposées.
Remarquons encore qu’une équation du m“* degré peut ne représenter qu’un point ou même n’avoir aucune signification géométrique. C’est ce qui arrive quand l’équation n’admet qu’une seule solution réelle ou quand elle n’en admet aucune. Telles sont, par exemple, les équations
La première, n'ayant qu’une solution réelle x — a, y=b, ne représente que le point (a, b); et la seconde, n’ayant aucune solution réelle, n’est susceptible d’aucune représentation géométrique. Cependant, afin de généraliser cette classification des lignes algébriques, on dit quelquefois qu’une équation du mmr degré représente, dans le premier cas, une ligne évanouissante du mm' ordre, et, dans le second cas, une ligne imaginaire.
(50. Théorème. Utre ligne algébrique du nv"* ordre ne peut être rencontrée par une droite en plus de m points.
Les coordonnées des points d’intersection de deux lignes quelconques, vérifiant à la fois les équations de ces lignes, on obtient les points d’intersection de deux lignes en cherchant les solutions communes à leurs équations. Pour avoir les points d’intersection d’une droite, dont l’équation est du premier degré (9), avec une courbe du m™ ordre, il faut donc résoudre un système de deux équations, l’une du premier degré et l’autre du mmr. Or un pareil système ne peut admettre plus de m solutions; ce qui démontre le théorème.
CnAPITRE III
DES ÉQUATIONS DU PREMIER DEGRÉ A DEUX VARIABLES. PROBLÈMES SUR LA LIGXE DROITE.
01. Construction des équations du premier degré. L’équation la plus générale du premier degré à deux variables est de la forme
Ax -f Bj/ -f- C = o [1].
Si A = o, on en tire y = — j-J , c'est-à-dire que tous les points
du lieu représenté par celte équation ont la même ordonnée ; le lieu est donc une parallèle à l’axe des x.
Si B = o, on tire de l’équation [l] x = — qui représente une parallèle à l’axe des y.
Si A et B sont différents de zéro, on peut diviser l’équation [lj par l’un de ces coefficients, B par exemple, et résoudre ensuite l’éqnation par rapport à y, ce qui donne
ou en posant, pour abréger,
A , C , B = fl el ~B=&’
y=ax- f- b.
C’est sous cette forme que l’on présente le plus fréquemment l’équation du premier degré à deux variables.
G2. Pour obtenir le lieu que celte équation représente, considérons d’abord le cas particulier où b est nul et où l’on a simplement
y = ax d’où - = a [1].
Soient M, M', M" (fig. 30) différents points du lieu; menons les ordonnées MP, M P’, MT"; et joignons les points M, M', M" à l’origine O par des droites MO, M'O, M"0. On a, en vertu de l’équation [2]
