MT BB" BB' B B' B

Ces deux relations, ne dépendant ni de R ni de a:,, yi, z,, doivent être vérifiées d’ellcs-mêmes; donc ce sont les conditions nécessaires pour que la surface représentée par l’équation proposée soit de révolution.

Nous disons qu’elles sont suffisantes. En effet, lorsqu’elles seront remplies, l’équation [2] représentera deux plans parallèles; et, comme les valeurs de X et de x„ y,, sont indépendantes de R, on pourra toujours décrire une sphère du point (x,, y,, s,), comme centre, avec un rayon R tel, que cette sphère coupe la surface proposée, supposée réelle. La surface proposée pourra donc être coupée par deux plans parallèles suivant deux cercles; donc elle sera de révolution.

Lorsque les conditions [3] sont remplies, les équations de l’axe de la surface de révolution sont

C— Xx, C' -Xi /, C''— X«,

B'B" — RB’ — BB’ ‘

Il resterait à y mettre pour X sa valeur.

609. Ce qui précède suppose qu’aucun des coefficients B, B’, B' n’est égal à zéro. Examinons maintenant les différents cas particuliers qui peuvent se présenter.

Soit B=0; les équations qui déterminent le centre deviennent (A+X)x+ B"y-f B ‘z + C — Xx, = 0 B"x+(A'-(-X)y+C'-Xy1 = 0 B'x-KA*+X)s -fC” — Xj, =0.

Pour que ces trois équations puissent se réduire à une seule, il faut qu’avec B = Ol’on ait en môme temps B' = 0 ou B’=0, ou B' = B' = 0; car, s’il en était autrement, il est évident que la première de ces trois équations ne pourrait ni être identique , ni être identifiée à la fois avec chacune des deux dernières.

Supposons B’ = 0. Alors, ou B” = 0 ou B’î^ 0.

Soit B' =0. Les équations du centre sont (A +X)x-fC— Xx, = 0 (A’-t-Xjy-f-C' — Xy, =0 (A'-f-X);+C'— Xr,=0.

Ces équations, représentant des plans respectivement parallèles aux axes, ne sauraient être identifiées entre elles. Donc, pour qu’elles puissent se réduire à une seule, il faut que deux d’entre elles soient vérifiées d'elles-mêmes. Si ce sont les deux dernières que l’on rend identiques, il vient

A'-fX=0, C’— Xt/, = 0 et A*-|-X=0, <7— Xz,=0, d’où résulte la condition

Les équations de l’axe de la surface de révolution sont, dans ce eus,

C’— Xj/, = 0, C"— Xz,=0.

Si l’on rendait identiques la première équation et la seconde, ou la première et la troisième, on aurait

A = A' ou A = A".

(J 10. Enfin, soit B*^0. Les équations du centre sont: (A + X)x+ B"j/-(-C — Xar,=0 B"a7— |— (A' — X)i/ — {— C' — Xy, = 0 (A"+X)s + C" — Xst=0.

La troisième de ces équations, représentant un plan parallèle au plan des xy, ne peut être identifiée avec aucune des deux autres équations; il faut donc qu’elle soit identique, et que les deux premières rentrent l’une dans l’autre, ce qui donne

A*+X=0, (7— Xz,=0 et

A + X B* C— Xj-,.

B" A'— {- X C' — Xj/, ’

d’où résulte l’équation de condition

Cette condition étant satisfaite , les équations de l’axe de lu surface seront

blk GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE A TROIS DIMENS.ONS.

En résumé, pour que la surface représentée par l’équation [1] soit de révolution, il faut que ses coefticicnts satisfassent à l’une des conditions suivantes :

1° On doit avoir

si aucun des coefficients B, B', B" n’est nul.

2° On doit avoir

A' = A", ou A = A' ou A = A", si les coefficients B, B’, Bv sont nuis en même temps.

3° Enfin, suivant que l’on a

ou <

B = 0, B' =0, B ^ 0 Sil faudra qu’on ait B*= (A - A’)(A"— A') ou i