CHAPITRE X
«S86. surface» cylindriques. On nomme en général surface cylindrique, la surface engendrée par une droite qui glisse sur une ligne donnée, en restant constamment parallèle à une même direction. La ligne fixe s’appelle la directrice de la surface, et la droite mobile est sa génératrice.
Proposons-nous de trouver l’équation générale des surfaces cylindriques . Soient
f{x,y,z) = Q\ f,(x,y, z) = oj
les équations de la directrice. Les équations de la génératrice seront de la forme
x = oz-j-pi y = 6z-f q)
les coefficients a et b étant des nombres donnés, p et q des paramètres qui varient avec la position de la génératrice. Le problème proposé revient évidemment à trouver une relation entre x, y, z, indépendante de p et de q, et qui soit une conséquence des équations [D] et [G]. Or, pour que la génératrice rencontre toujours la directrice, p et g doivent satisfaire à la relation qu'on obtiendra en éliminant x, y, z entre [D] et LG]. Soit
cette relation. En éliminant p et g entre les équations [G] et [1], il vient
<f(x— a z, y—bz) = 0 [2];
c’est l’équation générale des surfaces cylindriques. Réciproquement, quelle que soit la fonction ?, l’équation [2] re-
présente une surface cylindrique dont les génératrices sont parallèles à la droite qui a pour équations
En effet, si l’on pose
ac = (jz'j y—bi)
X—az=p, y—bzz=q, l’équation [2] devient
TÛ>.<7) = o M;
et, si l’on prend pour p et q les valeurs qui vérifient cotte équation, les droites
Æ = az+p} y=zbz+q)
seront constamment situées sur la surface [2]; et comme d’ailleurs la direction de ces droites reste toujours la même, la surface [2] est une surface cylindrique.
Remarques. I. Si de l’équation [I] on tire P='K?),
l’éqnation générale des surfaces cylindriques prend la forme
x — az = 'l' (y — bz).
II. Si l’on prend pour directrice la trace du cylindre sur le plan des xy, la recherche de l’équation du cylindre se simplifie considérablement. Eu effet, les équations de la directrice sont alors de la forme
et, par suite, l’équalion de condition entre p et q, pour que la génératrice
x=az + p\
y—bs + q)
rencontre constamment la directrice, est
L’équation de la surface cylindrique est donc dans ce cas
f(x—az, y — bz) = 0.
Ainsi, lorsque la directrice est la trace du cylindre sur le plan des xy, il faut, pour obtenir l’équation de la surface cylindrique, remplacer, dans l’équation de la trace du cylindre, a; et y respectivement par x — az, y — bz, a et b étant les coefficients angulaires de la génératrice.
En appliquant cette règle aux équations
x' -f- y' = r*, j/’=2 px, y = e*, etc.,
on obtient
(x— az)'+(y— &z)’=r*, (y—bzy=2p(x—az), y—bz=e* —, etc.,
équations de cylindres circulaires, hyperboliques, logarithmiques, etc.
ü87. Ètanl donnée réquation
reconnaître si elle représente une surface cylindrique.
La trace sur le plan des xy de la surface fl] a pour équation f(x, y, 0) = 0 ;
et, d’après ce qui précède, l’équation générale des surfaces cylindriques, qui ont cette trace pour directrice, est
f(x — az, y—bz, 0)=0 [2],
Donc, pour que la surface fl] soit cylindrique , il faut et il suffit qu’il existe des valeurs réelles de a et b , qui rendent identiques les équations [1] et [2]. Si cette identification est possible, l’équation [1] représentera une surface cylindrique dont la génératrice sera parallèle à la droite
y = bzy
Exemple. L'équation
f(x, y, <)=*’+ y1 + lï5—lM + 2yï—l—'0 représente-t-elle une surface cylindrique ?
On a ici
f(x—ax, y—bx, 0)=(*— ax)’ + (y— bx)1— 1.
Pour que cette équation soit identique à l'équation proposée, il faut que l'on ait
Ces conditions étant compatibles, la surface proposée est un cylindre dont les génératrices sont parallèles & la droite
On verra de même que l’équation
kx1 + 9y’ + 97 x»— 1 6xi — Wxy =36
représente un cylindre dont les génératrices sont parallèles à la droite
*>80. Trouver l'équation d’un cylindre circonscrit à une surface donnée, connaissant la direction de la génératrice.
Soit
l’équation de la surface donnée, et
y — bz + q)
les équations de la génératrice. La question revient évidemment à trouver la relation qui doit exister entre p et q, pour que la géné-
ratrice du cylindre soit constamment tangente à la surface donnée. Car, si
était cette relation,
<f(x — az, y — bz) =0
serait (U86) l’équation du cylindre circonscrit à la surface proposée.
On obtiendra cette relation en exprimant que, si l’on coupe la surface par un plan quelconque passant par la génératrice, celleci est tangente à la section faite par ce plan. Pour simplifier, on prendra i’un des plans projetants de la génératrice, le plan
y = bz+q [1]
par exemple, et on exprimera que la droite
x — az+p
est tangente à la projection, sur le plan des xz, de la section de la surface faite par le plan [1], projection qui a pour équation
f(x, bz + q, z) = 0.
Exemple. Trou ter l'équation du cylindre circonscrit à la sphère qui a pour équation
*’ + y’ + *’ = r3, et dont les génératrices sont parallèles à la droite
On a ici '
x = ai y — b:
f(i, bx + q,i) = x,+ ( bx + q)-+ ï’— r! = 0
Pour que la droite
x=ax + p
soit tangente à la ligne [1] , il faut que réquation
(o5 + V + 1) ï’+ 2 (ap + bq)X + p5 +qJ— r»=0,
obtenue en éliminant x entre [1] et [2] , ait ses racines égales. On doit donc avoir
(aq - bp)’ + l* + f = + *»* — r3.
558 GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE A TROIS DIMENSIONS. L'équation du cylindre circonscrit à la sphère donnée est donc
[a (y — bi ) — b (x — ax)\ 1 + (x — as)1 + (y — bx)1 = a1 + V — r3, ou, en simplifiant,
(b1 +l)r3+(o, + !)V5 + («’ + b »)*J —2abxy — 2axi — 2byï
S89. Tout plan langent <1 un cylindre esl tangent tout le long de la génératrice gui passe par le point de contact.
Soit
ç(x— os, y — bx)=0
l'équation du cylindre et (r,, y s,) le point de contact; l'équation du plan langent est
(x— x„)f'^+(y— y«)?V>+(ï— -»)î'«=0 [OJ,
arec la relation 9(1», y,, z,) = 0. Pour calculer 9’*,, 9',,, 9’.,, posons * — as— u , y — bx=v,
l’équation du cylindre deviendra 9(u, v)=0, et, en remarquant que u et 0 sont des fonctions de x et de y, et eu ayant égard à la règle des fonctions composées et à celle des fonctions de fonctions , on aura
Substituant ces valeurs dans l'équation [0] et réduisant, on trouve
(x — a x — u,)9'u, -f (y— bs — r,) 9V, = 0 ,
équation d’un plan qui contient la génératrice x — ai — ut=0, y—bx — fo=0, passant par le point de contact; ce qui démontre la proposition énoncée.
800. Surfaces coniques. Ort appelle en général surface conique, la surface engendrée par une droite qui passe constamment par un point fixe , appelé sommet, en s’appuyant sur une ligne donnée appelée directrice.
* Proposons-nous de trouver l’équation générale des surfaces coniques. Soient
f(x,y,z) = 0 fl(x,y,z) = 0
les équations de la directrice “t x', y1 , z' les coordonnées du
sommet du cône. Les équations de la génératrice seront de la orme
les coefficients a et b variant avec la position de la génératrice. La question revient encore ici à trouver une relation entre x, y et z indépendante de a et de b. Soit
la relation entre a et b, que l’on obtient en éliminant x, y et z entre les équations [D] et [G], relation qui exprime que la génératrice rencontre constamment la directrice. En éliminant a et b entre les équations [1] et [G], on obtient
c’est l’équation générale des surfaces coniques.
Réciproquement, quelle que soit la forme de la fonction l’équation [2] représente une surface conique. Car si l’on pose
et que l’on prenne pour a et 6 les valeurs qui vérifient l’équation
les droites
a; — x' = a[z — z') a y-y^biz-ï)]’
qui passent par le poiul ( x y', z'), seront situées sur la surface représentée par l’équation [2] ; donc celte surface est un cône.
Remarques. I. Si de [l] on tire
l’équation des surfaces coniques prend la forme
II. Si l’on prend le sommet pour origine, les équations du cône deviennent
Les équations [2] sont les types des équations homogènes à trois variables. Donc : toute équation homogène à trois variables représente un cône ayant Voriginepour sommet, et réciproquement.
III. Si la directrice donnée était la trace du cône sur le plan des xy, scs équations seraient de la forme
f(x,y) = 0, z = 0; l’équation [1] se réduirait à
f(x' — az’, \/—bz’) = Q
et, par suite, l’équation du cône serait
Ainsi, on obtient l’équation de la surface conique, en remplaçant, dans l’équation de sa trace sur le plan des xy, x et y respectivement par ~,X et y~ ~,y, x', y', z étant les coordon-
nées du sommet du cône.
Exemple. Le cône qui a pour sommet le point (je1, y', f) et pour trace, sur le plan des xy, le cercle
a pour équation
«’ + y’rxr5,
(x’x—x'xy + (\fs—f'y)' = r-(:— r')’.
Si le cône était droit, on aurait sf=0, tf = 0, et, par suite, son équation serait
891. Ëlanl donnée réquation d'une surface, reconnaître si cette surface est un cône.
Soit F(x, y, r) = 0 [1]
l’équation de la surface donnée. Pour que cette équation puisse représenter un cône, il faut qu’elle soit homogène, ou bien qu’en changeant l’origine des coordonnées on puisse la rendre homogène (890, Rem. III). Dans le premier cas, l’équation [1] représente un cône, réel ou imaginaire, ayant pour sommet l’origine actuelle, ou une des variétés du cône ; et dans le second cas, un cône ayant pour sommet la nouvelle origine ou l’une des variétés du cône. Quand elle représentera un cône, ce cône sera réel ou imaginaire, selon que la section obtenue en le coupant par un plan quelconque sera réelle ou imaginaire. Pour simplifier, on prendra le plan sécant parallèle à l’un des plans coordonnés.
On pourrait encore reconnaître si la surface proposée est un cône, en examinant s’il existe des valeurs réelles de x', y', z' qui rendent identiques (890, Rem. III) l’équation [1] et l’équation
Exemple. Soit donné* l’équation
3x’ + 2y* — îxx + kys— ix— &ï— 8=0.
Cette équation n’est pas homogène, mais si l’on change l'origine des coordonnées, en remplaçant x, y, i par * + y-fy', x + a', on trouve que pour
l'équation proposée devient
3x! + 2y3 — 2xï + 4y s = 0.
Cette dernière équation étant homogène, représente un cône réel ou imaginaire. Or, si l’on coupe ce cône par le plan x= 1 , la section
2y3+ kyz — 2* + 3=0
est une courbe réelle. Donc l'équation proposée représente un cône réel.
GÉOM. ANAL. 36
SOI Trouver l'é'juation d'un cône qui ait pour sommet un point donné et qui soit langent à une surface donnée.
Ce problème se résout par les mêmes considérations que celui du n”
Exemple. Trouver l'équation d'un cône qui ait l’origine pour sommet et qui soit langent à la sphère qui a pour équation :
(*-«)» + (y — P)1 + (î-T)>=rI.
Les équations de la génératrice du cène sont ici de la forme
x = as T
et la projection sur le plan des xx de la section de la sphère par le plan
a pour équation
(i - «)> + Çbz - p)> + (ï — y)1 =r-.
Pour que la droite z=ai,
soit tangente à la courbe représentée par cette équation, on doit avoir (o« + ép + Y)’= (o1 + 5= + 1) («’ + P’ + y’ - r*) i
par suite, on obtiendra
(xx + py + y s? = (x? + y5 + **) («5 + P5 + T’ — r3) pour l'équation du cène demandée.
Si le centre était à la distance r de l’origine, on aurait o’ + ps + y’ = r!, et le cône se réduirait à un plan, ce qu'on pouvait prévoir.
S9ï. Tout plan tangent à un cône est tangent tout le long de la génératrice qui passe par le point de contact.
Même démonstration que pour le cylindre (voyez n* 389).
CHAPITKE XI.
DU NOMntlE DE CONDITIONS NÉCESSAIRES POUR DÉTER- MINER UNE SURFACE DU SECOND DEGRE. —ÉQUATIONS GÉNÉRAI. ES DE TOUTES UES SURFACES DU SECOND DE- GRE SATISFAISANT A DES CONDITIONS DONNÉES. — CONDITIONS POUR QU'UNE SURFACE DU SECOND DEGRÉ SOIT DE REVOLUTION. — INTERSECTION DES SURFACES DU SECOND DEGRÉ.
(Î94. Du nombre de conditions nécessaires pour déterminer une surface du second degre. Une Surface du Second degré CSt généralement déterminée quand elle est assujettie à des conditions géométriques donnant lieu à neuf équations distinctes entre les coefficients de son équation générale.
Cela résulte de ce que l'équation générale du second degré à trois variables
Aæ*+Ay+AV+2Bzî/+2B'2Æ+2B"a:y+2Ca;+2C/r/+2C"z+F==0 [1] ne renferme réellement que neuf coeflicients. Il faudra donc neuf équations pour déterminer ces coefficients quand ils seront inconnus.
Remarque. Le paraboloïde, le cône, le cylindre elliptique, le cylindre hyperbolique et le cylindre parabolique ne peuvent jamais être assujettis à neuf conditions arbitraires, à cause des relations qui existent entre les coefficients de l’équation [1] , lorsque cette équation représente l’une de ces surfaces.
Par exemple, pour que l’équation [1] représente un rêne, il faut qu’elle soit vérifiée par les coordonnées du centre, ce qui donne une condition. Un cône sera donc déterminé, en général, par huit conditions arbitraires.
Un paraboloïde est aussi déterminé en général par huit conditions aibitraires;carpourqueréqualion[lJreprésente un paraboloïdc, il faut que les trois équations qui déterminent les coordonnées du centre soient incompatibles, ce qui donne la condition R = 0 (477).
Le cylindre elliptique et le cylindre hyperbolique sont déterminés,
en général, par sept conditions ; car, ccs surfaces ayant une infinité de centres en ligne droite, pour que l’équation [1] représente l'une de ces surfaces, il faut que les équations qui déterminent le centre se réduisent à deux, ce qui donne deux relations.
Enfin, le cylindre parabolique est déterminé en général par six conditions arbitraires ; car, les sections de celte surface par les plans coordonnés devant être des paraboles, il en résulte trois conditions. On arrive au même résultat en exprimant que tous les plans diamétraux sont parallèles.
En résumé, il n’y a que Yellipsoïde et Yhypcrbolo'ide à une ou deux nappes qui puissent être assujettis en général à neuf conditions arbitraires.
Indiquons maintenant le nombre de relations entre les coefficients de l’équation [1] qui correspondent à certaines conditions géométriques imposées aux surfaces qu’elle représente.
393. Assujettir une surface du second degré à passer par un point, équivaut à une relation. Cette relation s’obtient en exprimant que l’équation de la surface est vérifiée par les coordonnées du point donné.
Si le point donné est un point remarquable (centre, sommet, etc.), il équivaut à trois conditions, que l'on obtient en égalant aux coordonnées de ce point ces mêmes coordonnées exprimées en fonction des coefficients de l’équation de la surface.
396. Assujettir une surface du second degré à passer par une droite donnée, équivaut à trois conditions que l’on exprime en éliminant x et y entre les équations de la droite et celle de la surface, et en égalant à zéro les trois coefficients de l’équation en : ainsi obtenue, car cette équation doit être vérifiée quelle que soit la valeur de s.
S’il s’agit d’une droite remarquable, elle équivaut à quatre conditions, que l’on obtient en identifiant les équations données avec les équations générales de la droite considérée. Enfin, quand on donne la direction d’une droite remarquable, ou un de ses points, cela équivaut à deux conditions.
397. Assujettir une surface du second degré à passer par deux droites, équivaut à sia: conditions si les deux droites appartiennent
à un même système de génératrices rectilignes, auquel cas les deux droites ne se coupent pas, et à cinq conditions si les deux droites se coupent.
Assujettir la surface à passer par trois droites appartenant à un même système de génératrices, c’est-à-dire par trois droites ne se coupant pas, revient à l’assujettir à neuf conditions. Si deux des droites appartiennent à l’un des systèmes de génératrices rectilignes et l’autre droite à l’autre système, elles n’équivalent qu’à sept conditions, car l’une de ces droites rencontrant les deux autres, est alors déterminée par une seule condition.
398. Assujettir une surface du second degré à être tangente à un plan donné, revient à une condition, que l’on obtient en identifiant l’équation du plan donné et l'équation du plan tangent à la surface, et en éliminant les coordonnées indéterminées du point de contact entre les équations de condition qu’on obtient et l’équation de la surface. Si l’on donne en même temps le plan tangent et le point de contact, cela équivaudra à trois conditions. L’une d’elles s’obtiendra en exprimant que l’équation de la surface est vérifiée par les coordonnées du point de contact, et les deux autres en identifiant l’équation du plan tangent avec l'équation du plan donné.
899. Assujettir un paraboloide à avoir un plan donné pour plan directeur, équivaut à deux conditions; on les obtiendrait en exprimant que les génératrices rectilignes de l’un des deux systèmes sont parallèles à ce plan.
800. Assujettir une surface du second degré à passer par une courbe du second degré, c’est l’assujettir à cinq conditions.
En effet, en assujettissant la surface à passer par cinq points quelconques de cette courbe, on a cinq relations entre les coefficients de l'équation [1], et on n'en a pas davantage, car dès qu'une courbe du second degré a cinq de ses points situés sur la surface, elle y est située tout entière, puisque, d'une part, une courbe du second degré est déterminée par cinq points, et que, de l’autre, ces cinq points appartiennent aussi à la courbe du second degré, intersection de la surrace avec le plan de la courbe donnée.
CtüMÉTIUE ANALYTIQUE A TROIS DIMENSIONS.
001. Assujettir une surface à passer par deux courbes du second degré dont les plans se coupent, n'équivaut qu’à huit conditions, parce que deux courbes du second degré dont les plans se coupent ont toujours deux points communs, réels ou imaginaires, situés sur l'intersection de leurs plans.
Lorsque les deux courbes sont situées dans deux plans parallèles, on ne peut pas, en général, faire passer une surface du second degré par ces deux courbes; car les sections parallèles d'une surface du second degré doivent être semblables et avoir leurs centres en ligne droite.
002. Assujettir un hypcrbolo'ide à avoir un cône donné pour cône asymptote, revient à l’assujettir à huit conditions; car tous les coefficients de l’équation de la surface, excepté le terme constant F, doivent être égaux à ceux de l'équation du cône.
Nous verrons, plus loin, qu’assujettir une surface du second degré à être de révolution revient à l’assujettir à deux conditions.
005. Équations générales de tonies les surfaces du second degré satisfaisant A des conditions géométriques données.
Etant données les équations de deux surfaces du second degré, trouver l’équation générale des surfaces du second degré qui passent par l’intersection des surfaces proposées.
Soient f=0 [1] et ? = 0 [2]
les équalions données ; l’équation
dans laquelle X est un paramètre arbitraire, est l'équation demandée.
D’abord, il est évident que toutes les surfaces représentées par l’équation [3] passent par l'intersection des surfaces proposées, et n’ont pas avec ces surfaces d'autres points communs. Il suffit donc de démontrer que toute surlace du second degré passant par l’intersection des surfaces [1] et [2] peut être représentée par l'équation [3], en déterminant convenablement X.
Soient S une surface du second degré passant par l’interscclion
des surfaces [1] et [2], M un point de celte surface non situé sur cette intersection, et h la valeur de X tirée de l’équation [3] où l’on a substitué les coordonnées du point M; l’équation
est celte de la surface S. En effet, le point M est sur la surface [4], puisque son équation est satisfaite par les coordonnées de ce point. Par le point M, menons un plan P qui coupe les surfaces [1] et [2] suivant des courbes que nous désignerons par A et B; ce plan coupera la surface S suivant une courbe du second degré C, qui passera par le point M et par les quatre points d’intersection réels ou imaginaires des courbes A et B. Mais ce même plan P coupera la surface [4] suivant une courbe du second degré C', qui passera aussi par le point M et par les quatre points d’intersection des courbes A et B, puisque la surface [4] passe par les points communs aux surfaces [1] et [2]. Les courbes C et G' auront donc cinq points communs ; et, puisqu’elles sont du second degré, elles coïncident. Il en résulte que tous les plans menés par le point M coupent les surfaces S et [4] suivant des courbes identiques deux à deux; donc ces deux surfaces coïncident, et l’équation [4] est celle de la surface S.
004. Étant données les équations d'une surface du second degré et celles de deux plans, trouver l'équation générale des surfaces du second degré passant par les intersections de la surface proposée avec les deux plans.
La solution de cette question se déduit de la précédente. En effet, soient f= 0 l’équation de la surface, et P = 0, P'=0 celles des deux plans. L’équation PP'=0 pouvant être considérée comme celle d’une surface du second degré, l’équation demandée est
f- |-XPP'=0.
Si Q=0 et Q'=0 sont les équations de deux autres plans, l’équation
QQ' + XPP’ — o
est l’équation générale de toutes les surfaces du second degré passant
par les quatre droites, intersections des deux plans Q = 0, Q'=0 par chacun des deux plans P = 0, P' = 0.
(SOS. Trouver l’équation générale des surfaces du second degré tangentes à une surface du second degré donnée, suivant une courbe du second degré donnée.
Soit f= 0 l’équation de la surface, et P=0 le plan de la courbe des contacts; en vertu de ce qui précède, l’équation demandée est
Car la surface représentée par f -f >.PF=0 devient tangente à la surface proposée f= 0, lorsque les deux plans P = 0 et F = 0 se confondent en un seul.
600. Comme exemple, cherchons l 'équation du cône circonscrit à un ellipsoïde donné et dont le sommet soit en un point donné.
Soient ^ + |î + ^î=1 [I]
l’équation de l’ellipsoïde, et («, p, f) le sommet du cône dont on cherche l’équation.
Le lieu des points de contact du cône cherché avec l’ellipsoïde est le même que celui des points de contact des plans tangents à cet ellipsoïde menés par le point donné, plans qui sont aussi tangents au cône cherché. Or, en désignant par x, y, z les coordonnées dn point de contact des plans tangents, ce dernier lieu est la courbe du second degré intersection du plan
avec l’ellipsoïde proposé. D’ailleurs, l’équation de toutes les surfaces du second degré tangentes à l’ellipsoïde suivant cette courbe est
S+^+?-' + »(ÿ+^ + 7-')' = 0 Mi
et comme le cône est la seule surface du second degré dont tous les plans tangents passent par un même point, il s’ensuit qu’on aura l'équation du cône cherché en remplaçant, dans l’équa-
tion [3], >. par sa valeur tirée de celte même équation, après y avoir remplacé x, y et z par les coordonnées b, p et y du sommet du cône.
007. Trouver l'équation générale des surfaces du second degré passant par une courbe du second degré dont les équations sont données.
La courbe du second degré dont il s’agit, pouvant être considérée comme l’intersection d’une surface du second degré et d’un plan, a pour équations
f— o [i] et P = o [2],
équations qui représentent respectivement une surface du second degré et un plan.
Cela posé, l’équation cherchée est
/■+ (a;r-fPy+ ys -J-Ï)P= 0 [3],
», p,Y et 8 étant quatre paramètres arbitraires. En effet, l’équation [3] est du second degré, et les surfaces qu’elle représente passent toutes par la courbe proposée, puisque celte équation est vérifiée par les solutions communes aux équations [1] et [2]. En second lieu, cette équation représente toutes les surfaces du second degré qui passent par la courbe donnée. Pour le démontrer, prenons une surface S qui passe par cinq points pris sur la courbe donnée et par quatre autres points pris hors de celte courbe ; on pourra déterminer les paramètres a, p, y, 8 de manière que la surface [3], qui déjà passe parles cinq points pris sur la courbe donnée, passe en outre parles quatre autres points. La surface S et la surface [3] satisferont donc toutes les deux à neuf conditions distinctes; donc elles coïncideront. Donc l’équation [3] peut représenter toute surface passant par la courbe donnée.
Ainsi, l’équation générale des surfaces du second degré passant
1/^ jJ*
par l’intersection de l’ellipsoïde ^ -f- f-, -f ^ = 1 el du plan mx -J- ny -f pz q = 0, est
? + — 1 + (w^ + ny + P« + <?) («a; -j- p y -h y- “h s) = °*
On peut se proposer de déterminer les paramètres », f), y et 5 par la condition que celle équation représente une surface du second degré d’espèce donnée. Si l’on veut, par exemple, qu’elle représente un cône ayant pour sommet un point donné, il suffira d’exprimer que les coordonnées de ce point vérifient l’équation de la surface et les équations qui déterminent le centre. Observons que l'équation ainsi obtenue pourra représenter un cône réel ou imaginaire, ou une variété du cône, savoir : un point ou une droite.
BOB. Conditions pour qu’une équation du second degré représente une surface de révolution. Trouver les Conditions qui doivent exister entre les coefficients de l’équation (Tune surface du second degré pour que cette surface soit de révolution.
Supposons les axes rectangulaires. Si la surface représentée par l’équation
Ax*+AV+AV+2B^+2B'Ær+2B"®î/+2Cx+2C,y+2C'r+F=0 [1]
est de révolution, en décrivant une sphère d’un point quelconque (x,,y,, z,) de son axe comme centre, avec un rayon R compris entre des limites convenables, l’intersection de cette sphère avec la surface considérée se composera de deux circonférences de cercle, dont les plans seront perpendiculaires à l’axe et par conséquent parallèles.
Réciproquement, si une surface du second degré est coupée par deux plans parallèles suivant deux cercles dont les plans sont perpendiculaires à la droite qui joint leurs centres, la surface est une surface de révolution; car tous les plans parallèles à ceux-là couperont la surface suivant des cercles dont les centres seront situés sur la droite qui joint ceux des deux premiers cercles, puisque nous savons que les sections faites dans une surface du second degré par des plans parallèles sont des courbes semblables ayant leurs centres en ligne droite (523 et 524).
Cela posé, si l’on veut obtenir les conditions nécessaires pour
que la surface proposée soit de révolution, il suffit d’exprimer que l'équation générale
AV + A V + AV -|- 2Bzy + ....+ P
des surfaces du second degré passant par l’intersection de la surface [1] avec la sphère
représente deux plans parallèles.
Pour que l’équation [2] représente deux plans parallèles, il faut qu’on puisse disposer des paramètres arbitraires de manière à réduire à une seule les trois équations qui déterminent les coordonnées du centre (470, 2°). Ces équations peuvent se réduire à une seule de plusieurs manières : ou bien les trois équations sont équivalentes; ou bien l’une est une identité et les deux autres sont équivalentes; ou bien deux des équations sont identiques. Les trois équations qui déterminent le centre d’une surface représentée par l’équation [1] sont
Ax -f B "y +B';+C+ X(a; — jt,) = 0,
li'x + By + A"z -f C" + X(z— z,) = û ,
et, pour que ces équations se réduisent à une seule, il faut que l’on ait
A-fX B" B' C— Xa, A+X B" B' 1 C — Xx, B" ~~A'-f-X~ B C — Xy, C B' B A"-f-X— G' — Xj,’
d’où l’on tire, en égalant les valeurs de X,
