Intersection de deux surfaces du second degré. De U T

surfaces du second degré se coupent, en général, suivant une courbe à double courbure dont les projections sur les plans coordonnés sont des lignes du quatrième degré. Cela résulte de ce que l’élimination de l’une quelconque des variables, x, y, z, entre les équations des deux surfaces du second degré, conduit en général à une équation du quatrième degré entre les deux autres variables.

I! est des cas cependant où l’intcrscclion de deux surfaces du second degré se compose de deux lignes planes. Voici sur ce sujet deux théorèmes très-importants, surtout au point de vue de la Géométrie descriptive. Les démonstrations de ces théorèmes n’offrant aucune difficulté, nous nous bornerons à les énoncer.

012. Si deux surfaces du second degré ont une courbe d’intersection plane, elles ont une seconde courbe d’intersection également plane.

Si deux surfaces du second degré ont un plan principal commun , la projection de l'intersection de ces deux surfaces sur un plan parallèle à ce plan principal est une courbe du second degré.

Le second théorème subsiste pour un plan diamétral quelconque, pourvu qu’on projette parallèlement aux cordes conjuguées§du plan diamétral.

613. Exercices. Lieu des points de l'espace tels que la somme ou la différence de leurs distances à deux points fixes est constante : 1* géométriquement , T par le calcul. — Montrer l'identité des résultats.

Lieu du milieu d'une droite de longueur constante dont les extrémités glissent sur deux droites quelconques. En déduire le cas oii les deux droites directrices sont dans un même plan et rectangulaires : l* géométriquement , 2'’ par le calcul.

On donne une parabole z=0 et y* = 2px, ri un point (a, (}, y) ; on prend ce point pour sommet d’un cdne dont la base est la parabole. Trouver l'équation du cine. Ce cône peut il être de révolution ?

Même question en remplaçant la parabole par une ellipse ou une hyperbole.

Lieu des points également distants de deux droites qui se coupent.

Lieu des points également distants de deux droites non situées dans un même plan.

Lieu décrit par Varête d'un angle dièdre droit, dont les faces passent constamment par deux droites données non situées dans un même plan.

Lieu des points tels que la somme de leurs distances <1 deux axes rectangulaires soit égale (1 une ligne donnée.

Lieu des points tels que le rapport de leurs distances à une droite fixe et à un plan fixe soit constant.

Lieu des centres des sphères tangentes extérieurement à deux sphères données. Idem d (rois sphères données ( coordonnées rectangulaires).

Lieu des points tels que la somme des carrés de leurs dislances à m points fixes est constante.

Lieu décrit par une droite qui glisse sur deux autres droites non situées dans un même plan, et qui fait, d (jusque instant, avec ces droites, deux angles égaux entre eux.

Lieu décrit par une droite qui glisse sur deux cercles parallèles et sur une droite perpendiculaire aux plans de ces cercles.

Lieu décrit par une circonférence de cercle tournant autour d'une droite située dans son plan , et qui ne la coupe pas {tore).

Équation de l'hélicoide développable.

Lieu des points tels que la distance de chacun d'eux d un point quelconque d'une ellipse donnée soit une fonction rationnelle des coordonnées de ce point.

Si une ellipse et une hyperbole, situées dans deux plans perpendiculaires, sont telles que les sommets de l'une soient les foyers de l’autre, tout cône ayant pour base l’ellipse, et pour sommet un point de l’hyperbole, est un cône de révolution.

Si on coupe un ellipsoïde de révolution par un plan quelconque, le cône qui a pour base la section obtenue, et pour sommet un foyer de l'ellipsoïde, est un cône de révolution.

Une circonférence C de rayon R, roufe dans l’intérieur d'une circonférence fixe de rayon 2R, en entraînant une circonférence C qui a, avec la circonférence C, un diamètre commun AB , et dont le plan est perpendiculaire d celui de la circonférence fixe et de la circonférence C. On demande: 1" quelle est la ligne décrite, dans l’espace, par un point quelconque lié aux circonférences C et C; 2* d quelle courbe sont tangentes les projections , sur le plan de la circonférence fixe, des lignes décrites par les différents points de C' ; 3* quelle est la surface engendrée par la circonférence C'.