Exemple. Supposons qu'on ait en valeurs correspondantes

on aura , en substituant ces nombres dans la formule du n* 616.

ou, en effectuant et réduisant,

fonction qui remplit, en effet, les conditions proposées.

619. Simplification de la méthode de Lagrange. La formule de Lagrange, quoique très-élégante, est d’une application extrêmement pénible quand le nombre des valeurs données de la fonction est un peu considérable.

Mais il y a un cas particulier qui mérite d’être examiné à part. C’est celui où l’on ne connaît que 3 valeurs de la fonction, corres-

pondantes à des valeurs de la variable en progression arithmétique; en d'autres termes, c’est celui où il s’agit de faire passer une courbe par 3 points donnés, dont les ordonnées successives sont équidistantes.

Dans ce cas, on peut faire passer l’axe des y par le premier point ; et, si l’on nomme 8 l’intervalle de deux ordonnées consécutives, on aura xt =0, x, = S, x,= 28.

La formule de Lagrange, qui, dans le cas de 3 points, se réduit à

J J * ’ (Xt—Xt) ( X , -x,) ' V' ’ (.r, — xt) (x,—x,)

’1ry'-(x1-x,)(xt-x,y

devient alors

y = y • • -s. -25 + • «7=r + ,Jt • 20~ ;

ou, en développant, réduisant et ordonnant,

(3ya— '»?/,+!/■)

!/.— 2y,+yv.

équation qui représente une parabole du second degré dont l’axe est parallèle à l’axe des y.

Celte équation peut être mise sous une forme encore plus simple. Posons y, — î/0 = A, , y, — y,=A',, A’, — A, = At) les quantités A, et A, ne seront autre chose que la différence première et la différence seconde.

On tire de là; y^y.+A,

et yt=y, -|-A', =!/,-}- 2A, -j-A,.

Substituant ces valeurs dans l’équation de la courbe, on obtient

Exemple. Soient y«=3, y,=15, y, =7, 5=1,

on aur» A, = 12, A\ = — 8, A, = — 20,

par suite y = 3+22ar — 10x’.

020. Si l’on veut obtenir l’ordonnée intermédiaire entre y» et y,, il faut faire x=%& dans l’équation de la courbe, ce qui donne

y=yo+iA,— $a, Ci]-

Cette formule est d’un usage fréquent dans les questions d’interpolation. On l’exprimera en disant que, lorsqu’on a 3 ordonnées équidistantes, l'ordonnée intermédiaire entre la première et la seconde s'obtient en ajoutant à la première ordonnée la moitié de la différence première, et en retranchant de la somme le huitième de la différence seconde.

Dans l’exemple ci-dessus, on trouverait

’ 021. interpolation par les différences. Quand toutes les valeurs xit T,, Xt,. . ,xn de la variable, correspondantes aux valeurs

données y„ y,, y„ y» de la fonction, sont en progression

arithmétique, ou, ce qui revient au même, quand les fi-f- 1 points donnés ont des ordonnées équidistantes, on peut, en employant les différences des divers ordres, obtenir une formule d’interpolation très-simple.

On démontre en algèbre que si l’on appelle A,, A*. A,, A, .... A, les différences dont il s’agit, on a

yn=y» + «A,

Aa+--..+A„.

Faisons passer l’axe des y par le premier point, ce qui revient à faire a;0 = O; et posons x=nS, formule qui reproduira les abscisses des points donnés en y faisant successivement n=0,t»=l, n = 2, etc.

On en lire n = -; et en substituant dans la valeur de yn, et

supprimant l’indice n de y, on obtient

Pour j- = 0, celte formule donne r/ = t/a , pour x = 5 elle donne j/=j/t + Al = y„

■Aj+elc.

pour x=2î !/ — !/, + 2A1-f-2A,= t/„

pour x = 35. y = y, + 3A, + 3 A,+ A, = y„

et pour x=n? !/ = !/»■

En y regardant x comme variable, celte formule est donc une formule d’interpolation, puisqu’elle représente une courbe qui passe par les n-f- 1 points donnés. Celte courbe est une parabole de nrat degré, identique par conséquent à celle que donnerait la formule de Lagrange; car une parabole de ce degré, n’ayant que n-f-1 paramètres, est complètement déterminée quand on l’assujettit à passer par n-f- 1 points donnés.

Si. par exemple, on reprend les données du n" 618, savoir :

y«=l, y.=4, y,= 5, yj=3, y, = 2, 6 = 1,

on en déduit

Ai = +3, A, — — 2, A,— — 1 , A, = -4- 5.

Par conséquent , la formule d’interpolaUon sera

a-fjr— 1) , , *(*-1)(*-2) , „ , x(s — l)(x — 2)(x 3) ^

En effectuant et réduisant , on trouve

comme au numéro cité.

Remarques. I. La formule d'interpolation par les différences est plus simple que la formule de Lagrange; mais elle est moins gé-

nérale, puisqu’elle suppose que les ordonnées connues sont équidistantes.

II. Quand le nombre de ces ordonnées se réduit à 3, la formule devient

ou, en ordonnant par rapport à x,

C’est la formule du n“ 610 sous une autre forme. III. Si x = J S, il vient

!/ = î/o + JAi— «A,.

C’est la formule du n° 620.

622. Lorsque les valeurs données de la fonction sont équidistantes et très-rapprochées, on peut ordinairement négliger les différences troisièmes; on peut alors interpoler au moyen de la formule ci-dessus :

y=y, + (At iA,)ï + ‘A,£

ce qui revient à supposer que l’arc de courbe qui réunit trois points consécutifs se confond sensiblement avec une parabole du second degré. Mais il est entendu que la valeur de x doit se compter à partir du pied de la première des trois ordonnées que l'on considère et qui déterminent A, et

Exemple. Supposons qu'il s'agisse de calculer te logarithme du sinus de 2° T 20' à l’aide d'une table qui ne donne les logarithmes des lignes trigonométriques que de minute en minute. On trouvera

y. = 8, 5464218, A.=0, 0035730, A/ =0 ,0035438 , d'où Aj = — 0,0000292; d’ailleurs 8 = 60";

on aura, par conséquent,

y = 8,5464218+ (0,0035730 + 0,0000146).^ — O.OOOOUôf^V.

DU \oU/

Remplaçant — par -, et effectuant les calculs indiqués , on trouve y = 8 ,5476161 ,

qui est en effet le logarithme du sinus de 2* 1' 20", tel que le donnent les tables où les arcs procèdent de 10" en 10".

625. Quand les différences secondes sont elles-mêmes négligeables, la formule se réduit à

!/ = !/. + V| ou ?/ — !A = A,|-

L’interpolation s’effectue alors comme si l’arc de courbe qui réunit deux points consécutifs se confondait avec sa corde.

ün reconnaît dans la formule y — y, = A, | la règle ordinaire des

parties proportionnelles suivie dans l’usage des tables de logarithmes ; car elle peut s’énoncer en disant que : pour obtenir la différence y — y, entre le logarithme cherché et le logarithme des tables qui lui est immédiatement inférieur, il faut multiplier la différence tabulaire A, par la différence x entre le nombre ou l'arc considéré et le nombre ou l'arc des tables immédiatement inférieur, et diviser le produit par la différence constante S qui existe entre deux nombres ou flenc arcs consécutifs de la table.

Cette règle deviendrait inexacte si les différences secondes n’étaient pas négligeables. Si, par exemple, on l’appliquait à la question traitée au n° précédent, on trouverait

valeur trop faible de 0,0000033.

Remarque. La formule [1] du n° 62i offre môme le moyen d’apprécier à l’avance la limite de l’erreur commise dans l’application de la règle des parties proportionnelles. Mais ce ne serait pas ici le lieu d’entrer dans ces considérations, qui sont plus particulièrement du ressort de l’algèbre.