INTRODUCTION

1. La Géométrie analytique à deux dimensions a pour but principal de ramener l’étude des lignes planes à l’étude d'équations qui déterminent la position de leurs différents points; elle apprend .aussi à ramener certaines questions de calcul à des problèmes de Géométrie; et, sous ce point de vue, elle devient un instrument précieux entre les mains de l’ingénieur, comme nous aurons soin de le montrer. Mais commençons par indiquer comment on fixe sur un plan la position d’un point.

2. On nomme système de coordonnées un ensemble de grandeurs variables propres à fixer la position d’un point. Il existe un grand nombre de systèmes de coordonnées; mais nous ne nous occuperons d’abord que des coordonnées rectilignes , qui sont les plus en usage.

GÉOM. ANAL. . 1

3. Position d'un point sur uni* ligne. Si l’on veut fixer la position d un point M sur une ligne donnée, droite ou courbe, XX' (ti&- 1)> il suffira de déterminer la longueur de l’arc MO' compris enlre le point M et un

■ç' “ ° A *• x point connu O de cette ligne,

F'* 1 et de se rappeler de quel côté

du point 0 se trouve le point M. La longueur OM, et le sens dans lequel il faut la porter pour aller de O en M, détermineront complètement ce point. Si, par exemple, OM vaut 3 mètres et si OM' vaut 2 mètres, les points M et M seront complètement déterminés en disant qu’ils sont situés sur la courbe XX', supposée connue, l’un à 3 mètres à droite du point O, l’autre à 2 mètres à gauche de ce point.

à. On nomme abscisse d'un point M (fig. 1), la distance OM de ce point nu point lixe O; on convient ordinairement de regarder cette distance comme positive quand le point considéré est situé à droite du point O, et comme négative quand le point considéré est situé à gauche de ce ntéme point O; mais on aurait pu faire la convention contraire.

On nomme origine des abscisses le point fixe O, à partir duquel les abscisses se comptent, dans un sens ou dans l’autre.

L’abscisse d’un point situé sur une ligne indéfinie peut varier depuis — °° jusqu’à -{- » . L’abscisse de l’origine est zéro.

3. La convention précédente, qui consiste à regarder une abscisse comme une grandeur algébrique, dont la valeur absolue exprime la distance du point à l’origine, et dont le signe désigne la position du point par rapport à cette même origine, n’a pas simplement pour avantage d’abréger le discours, elle a surtout pour effet de généraliser les formules*, ainsi que nous allons le montrer paV un exemple très-simple.

Soient O et A (fig. 1) deux points fixes sur la ligne X'X, et M un point mobile sur celle ligne. Pour exprimer la distance du point

* On peut consulter sur co sujet le savant ouvrage qui a pour titre : De l’origine et des limite t de la correspondance entre VAtgebre et la ( è'ométrie , par A. Cournot.

M au point O, au moyen des distances OA et OM, faisons, pour abréger, OM=æ, AM = x' et OA = a. Tant que le point M est placé à droite du point A, on a évidemment

s’il est placé entre le point A et le point O, on a

enfin, s’il est à gauche du point O, on a

Trois formules sont nécessaires, comme on voit, pour exprimer la distance du mobile au point O, quand on considère toutes les positions qu’il peut avoir, sur la ligne X'X, par rapport à ce point, si, comme nous le supposons, x et x' sont des grandeurs * • absolues; et dans ce cas, ces abscisses n’expriment que la distance OM. Mais on voit aisément que l’une quelconque des trois formules donne à la fois la distance du mobile au point O et sa position par rapport à ce point, lorsque l’on a égard à la convention précédente.

En effet, supposons que le mobile passe de la droite du point A à la gauche de ce point; l’abscisse x*, d’abord positive, deviendra négative. Or, la formule [1] qui convient au cas où le mobile est à droite du point A, devient

quand on y remplace x' par — x' ; et, si x ' est plus petit que a, l’abscisse x ainsi obtenue étant positive, le mobile doit être à droite du point O ; d’ailleurs celle abscisse a même valeur absolue que celle donnée par la formule [2], et par suite la distance du mobile au point O est aussi la même.

Si x’ est plus grand que a, l’abscisse x est négative, et le mobile doit être à gauche du point 0. D’ailleurs on a

et la valeur absolue de x étant égalo à celle donnée par la formule [3], on voit que la distance du mobile au point 0 est aussi

la même. Ainsi, non-seulemcnl la formule [1] lient lieu des deux autres, mais elle indique encore, par le signe de x, la position que le mobile occupe, sur la ligne X'X, par rapport au point O.

O. Position d’un point sur nn pian. Pour déterminer la position d’un point M (lig. 2) dans un plan, on la rapporte à deux

droites fixes XX', YY', situées dans ce plan et qui se coupent sous un angle quelconque , le plus souvent sous un angle droit. Par le point M on mène à XX' et à YY' les parallèles MQ et MP; les points Q et P ainsi obtenus sont ce qu’on peut appeler les projections du point M sur les droites fixes, projections obliques ou rectangulaires, suivant que ces droites fixes se coupent obliquement ou à angle droit. Il est clair que la position du point M sera entièrement déterminée, si l’on connaît ses projections ; car, en menant par les points Q et P des parallèles à XX' et à YT', on obtiendra deux droites qui se couperont en un point M, lequel sera le point demandé.

Or, la position de la projection P sur XX' peut être définie par son abscisse OP, en prenant le point O pour origine des abscisses. La position de la projection Q sur YY' peut être pareillement définie par la grandeur OQ, qu’on regardera comme positive ou comme négative, suivant que le point Q sera situé au-dessus ou au-dessous de l’origine O ; on donne à cette grandeur OQ le nom d’ordonnée du point M. L’abscisse et l’ordonnée du point M se nomment ses coordonnées rectilignes; le point O est l’origine des coordonnées; les droites fixes XX' et YY' sont les axes coordonnés.

La position d’un point sur un plan est parfaitement déterminée, lorsqu’on connaît les coordonnées de ce point.

Remarques. I. On voit facilement qu’avec les mêmes valeurs absolues, mais avec des signes différents, on obtient les coordonnées de quatre points distincts M, M', M", M”, placés aux sommets d’un parallélogramme dont les côtés sont parallèles aux axes. Si a dé-

Fig. 5.

signe la valeur absolue de l’une des distances égales OP ou OP', et b la valeur absolue de l’une des distances égales OQ ou OQ', et si l’on désigne d’une manière générale par x l’abscisse et par y l’ordonnée du point que l’on considère, on aura :

Pour le point M. . .

. .. x = -fa,

II. Les points M et M" situés sur une môme droite MOM" passant par l’origine , et à égale distance de cette origine , ont des coordonnées égales en valeur absolue, mais de signes contraires. Il en est de même des points M' et M*.

III. L’habitude de désigner par x l’abscisse et par y l’ordonnée d’un môme point, a fait donner à l’axe XX', sur lequel se comptent les abscisses, le nom d'axe des x, et à l’axe YY’, sur lequel se comptent les ordonnées, le nom d’axe des y.

IY. Les coordonnées d’un point situé dans un plan indéfini peuvent varier toutes deux depuis — <x> jusqu’à -f- ® . Pour tous les points situés sur l’axe des x, on a y = 0; pour tous ceux qui sont situés sur l’axe des y, on a x = 0; les coordonnées de l’origine sont x = 0 et y =0.

V. La droite MQ, égale et parallèle à OP, peut aussi être regardée comme l’abscisse du point M; la droite MP, égale et parallèle à OQ, peut de môme être regardée comme son ordonnée.

YI. Enfin, dans la suite nous désignerons souvent un point par ses coordonnées placées entre parenthèses. Ainsi quand nous dirons : le point M (x*, y'), il faudra entendre : le point M dont les coordonnées sont x' et y'.

7. Distance de deux points. Lorsqu’on a les coordonnées de deux points, il est facile de calculer leur distance.

Soit M '(æ'.t/') et M"(x", y") (flg. 3) les deux points donnés. Menons M'F et M"F' parallèles à l’axe des y, puis M'Q parallèle à l’axe des x; et soit 8 l’angle formé par les parties des axes sur lesquelles se comptent les coordonnées positives. Le triangle M'QM" donne

MW - ÏTO* + SPQ’ — 2 . M'Q . M"Q . cos M"0M'.

Or, M'Q = P'P*' = OP" — OP’ = ®" — x'.,

M"QM' = QF'O = I80°— 8.

Donc 5rW= (/—»?+* (*" — ®') (y* — y')cos8 ;

d’où MM’ = v'i.æ" — XJ + (y*— y')’+ 2 (x"~— *') (y" — y’) cos 8 [1],

Quoique cette formule ait été obtenue dans une position particulière des points M' et M", il est facile de s’assurer qu’elle s’applique à tous les cas, pourvu qu’on se rappelle que les oordonnéesd’un p oint sont des quantités algébriques.

Supposons, par exemple, que les deux points M' et M* soient placés comme dans la figure 4. Le triangle M'QM" donnera encore

Mf =M70,+ ÏTO1 — 2 . M’Q . M"Q . cos M"QM\

Or, ici, on a M'Q = P’P" = OF' + OF ; mais OP" = ar" et OP' = — ar1, donc M’Q=a;"— x'. On a ensuite M"Q = M'P" + QF' =M"F+M'F ; mais M"F=— y" et M'F=y’ ; donc M"Q=— (y"— y'). Enfin, l’angle M'QM" est ici égal ù l’angle YOX ou à 8. On a donc, en substituant,

Mf=(i*-ï')'+(y"-!/),+ 2(®"— x') (y"— y') cos o ; ou bien M'M* = */{**— *? + (y"— y’7+ 2(ar"— x'){y" — y') eos6.

x jo x p" v

Fig . S

On vérifierait de la même manière les autres cas.

Remarques. I. Si les axes sont rectangulaires, on a cos 6œ=0 , et par suite,

formule facile à établir directement.

H.’ Si l’un des points est l’origioé, et qu’on ait, par exemple, *" = 0 et y"=0, il vient, dans le cas des axes quelconques,

M’M" = v'a:',+y', + 2a/iy cos8 [3];

et, dans le cas des axes rectangulaires ,

M'M'=v'iTTÿ!î [4].

Exemple. Supposons que les axes fassent un angle de 80° 15' 42" et qu’on ait x' = Om,321 ; y1 = — 0m,136; xf=— 0”,068; y" — — oro,417. On trouvera 1,7134670 pour le logarithme de la distance cherchée, qui est par conséquent égale à 0“',51697..., ou sensiblement à 0“, 517.

§ î. REPRÉSENTATION DES LIEDS GÉOMÉTRIQUES PAR DES ÉQUATIONS.

8. aimions préliminaires. Un lieu géométrique est l’ensemble de tous les points qui jouissent d’une propriété commune. En général ces points se succèdent avec continuité suivant une ligne droite ou courbe.

Si l’on rapporte la ligne qui représente un lieu à un système d’axes de coordonnées, on voit que-l’ordonnéc d’un point quelconque de cette ligne dépend de l’abscisse de ce point; ainsi, l’ordonnée est une fonction de l’abscisse, ou, plus généralement, il existe entre les deux coordonnées une relation constante f(x, y)—0. Cette relation, que la définition du lieu devra permettre de trouver, se nomme l’équation du lieu.

Connaissant l’équation d’un lieu, on peut s’en servir pour eon-

slruire ce lieu point par point. Pour cela, on cherche les solutions réelles de l’équalion donnée, résolue par rapport à l’une des deux variables, en considérant l’autre comme connue ; on construit les points qui ont ces solutions réelles pour coordonnées, en prenant les axes adoptés pour trouver l’équation , et les points ainsi obtenus appartiennent au lieu.

En général, toute équation f(x,y) = 0, représente un lieu, quand on regarde les deux variables x et y comme les coordonnées courantes d’un point qui se meut dans un plan; seulement la forme du lieu dépend du choix des axes que l’on adopte pour le construire. Nous reviendrons, dans le paragraphe suivant, sur la construction des équations à deux variables.

La Géométrie analytique à deux dimensions est basée sur les deux idées fondamentales que nous venons d’indiquer, savoir : la représentation d'un lieu géométrique par une équation entre les coordonnées de ses points, et, réciproquement, la représentation par une ligne d'une équation quelconque à deux variables. L’équation d’une ligne étant connue, on comprend la possibilité d’étudier ses propriétés à l’aide du calcul; on conçoit aussi la possibilité d’obtenir une infinité de lignes de formes et de grandeurs différentes, en faisant varier à l’infini les équations à deux variables.

Nous allons essayer d’éclaircir par des exemples les généralités qui précèdent.

9. Ligne droite. Considérons d’abord une droite MM" (fig. 5) passant par l’origine O des coordonnées. De différents points M, M', M", etc., de cette droite, abaissons les ordonnées MP, M'F, M"P", etc. La similitude des triangles MOP, MOF, M'OF', etc., donne immédiatement