MP M'F — M"F OP — OP' ~ — OF

Or, les numérateurs de ces rapports sont les ordonnées des points considérés, et les dénominateurs sont les abscisses des mêmes points ; pour une droite passant par l’origine, le rapport

de l’ordonnée à l’abscisse est donc une quantité constante; et l’on peut écrire d’une manière générale, en désignant par a ce rapport,

- == a ou y =z ax.

On arriverait à un résultat analogue si la droite, au lieu d’être

située dans l’angle YOX et dans son opposé, était située dans l'angle YOX' et dans son opposé (lig. 6); car on aurait alors

— MP — MF M"PB Op — oP' — — OP"’

ce qui exprime encore que le rapport de l’ordonnée à l’abscisse est constant.

La relation constante y = ax, qui existe entre l’ordonnée et l’abscisse de chaque point de la droite, est ce qu’on nomme l'équation de celte droite. Si, dans cette équation, on attribue à x une valeur quelconque, on en pourra tirer la valeur correspondante dey, et l’on déterminera ainsi (8) le point qui a celte abscisse et cette ordonnée ; on se procurera de la même manière autant de points de la droite que l’on voudra d’après la seule connaissance de son équation.

Soit maintenant une droite quelconque MM" (fig. 7) qui ne passe

pas par l’origine.

Menons-lui par le point O la parallèle NN";et abaissons les ordonnées MP, M F, M"F', qui, prolongées s’il est nécessaire, rencontreront la droite proposée respectivement en N, N', N". Les distances MN, M'N', M"N" seront égales, comme parallèles comprises entre parallèles ; désignons leur valeur commune par b,

Kijf. 7.

et soient y et y' les ordonnées de la droite MM" et de la droite NN* qui correspondent à une même abscisse x. Il y aura entre ces ordonnées une relation constante très-simple ; car ou a :

Pour le point M. . . MP = NP + MN ou y—y'-{-b,

M’... M'P1 = — N'P'+M'N' ou y=y' + b,

M*.. . — M"P* = — N"P" + M"N* ou y = y'+b.

Or, la droite NN" passant par l’origine, son équation est de la forme y' = or. Substituant cette valeur dans celle de y, on obtient

• y=ax-\-b.

Telle est la relation constante qui existe entre l’abscisse et l’ordonnée d’un point quelconque de la droite MM"; c’est Y équation de celte droite.

Si la droite donnée rencontrait l’axe des y au-dessous de l’origine au lieu de le rencontrer au-dessus, on trouverait encore l’équation

y = ax-\- limais b représenterait alors une distance négative.

Remarque. Une parallèle à l’axe des x a pour équation y = c<wtslantt ; car les ordonnées de tous scs points sont égales comme parallèles comprises entre parallèles. Une parallèle à l’axe des y a pareillement pour équation x= constante. L’axe des a; lui-même a pour équation y= 0, et l’équation de l’axe des y est, au contraire, x = 0.

iO. Circonférence de cercle. Considérons maintenant une circonférence de cercle (fig. 8) située d’une manière quelconque, et rapportée à des axes obliques faisant entre eux l’angle 0. Soient a et p les coordonnées du centre C, x et y celles d’un point quelconque M de la circonférence, et r le rayon du cercle.

Puisque, par la définition de cette courbe, la distance CM est constamment égale à r, on doit avoir (7)

(a — a)*-f (y — P)* -f2(x— a) (y — ft)C0SÔ = 7J [1].

Telle est la relation constante qui existe entre les coordonnées d’un point quelconque de la circonférence ; c’est Y équation de celte circonférence.

Si les axes sont rectangulaires, le terme en 6 disparaît, et il reste *

Si le centre est sur l’axe des x, on a p = 0, et il reste

Si, en même temps, la circonférence passe par l’origine, o est égal à r, et il vient, en réduisant,

x 1 — 2rx -f- y' = 0 [4].

Enfin, si le centre est l’origine des coordonnées, on a à la fois a= o et p = 0, et il reste

Chacune de ces équations peut servir à construire par points la circonférence qu’elle représente.

11. Ellipse. Lieu des points tels, que la somme de leurs distances a deux points fixes F et F' (fig. 9) est constante et égale à une longueur donnée 2a plus grande que FF.

Ce lieu est l’ouate du jardinier à laquelle on donne en Géométrie

le nom d’ellipse. On peut la tracer d’un mouvement continu :

pour cela, on attache aux deux points fixes F et F les extrémités r d’un fil dont la longueur est égale à 2a; on tend alors le fil au moyen d’un style; el, en faisant mouvoir celui-ci de manière que le fil reste toujours tendu, on trace sur le plan le lieu dont il s’agit.

C’est une courbe fermée analogue à celle de la figure 9. Elle est évidemment symétrique par rapport à la droite FF' qui joint les deux points fixes; elle l’est aussi par rapport à la perpendi-

culaire élevée sur le milieu O de FF ; si donc on prend ces droites pour axes coordonnés, à chaque valeur de l’abscisse correspondront deux valeurs égales et de signes contraires pour l’ordonnée, et, à chaque valeur de l’ordonnée, correspondront deux valeurs égales et de signes contraires de l’abscisse ; en sorte que l’équation du lieu ne contiendra aucune puissance impaire des coordonnées, ce qui la rendra beaucoup plus simple.

Soient a; et y les coordonnées d’un point quelconque M du lieu ; soit OF=OF'=e; joignons MF et MF'. On aura

MF'-f MF = 2a

MF" =«/* + (*+<:)'

MF, = y’+(x-c)1

Si l’on élimine MF et MF' entre ces trois équations, on obtiendra une relation constante entre x et y, qui sera l’équalion du lieu.

Pour faire cette élimination, retranchons membre à membre l’équation [3] de l’équation [2]; il viendra

MF7* — MF*= kcx.

Or, le premier membre est le produit du facteur MF'+MFégal à 2a par le facteur MF' — MF ; on peut donc écrire

2a(MF' — MF) = kcx, d’où MF' — MF=^.

Ayant ainsi la somme et la différence des longueurs MF' et MF, on obtient immédiatement, par une règle connue, la valeur de chacune d’elles, savoir :

MF'=a-f-- et MF = a — — .

Il ne reste plus qu’à substituer la première, par exemple, dans l’équation [2], ce qui donne

Telle est l'équation du lieu. On en tire, en réduisant, aV + (“’ — c*)** = a’(0’ — c*)-

Mais, comme parla nature même de l’énoncé on a 2a>2c ou a>e, la différence a’ — c* est positive, et peut être représentée par un carré 6*; ce qui donne a*y* + 6V=a’6*, ou, en divisant tous les termes par o’é*,

Cette équation ne contient aucune puissance impaire de x ni de y, ainsi que nous l’avions annoncé, ce qui indique une courbe symétrique par rapport à chacun des deux axes; car, à chaque valeur de l'une des deux coordonnées, répondent pour l’autre deux valeurs égales et de signes contraires. Comme les deux termes du premier membre sont essentiellement positifs, chacun d’eux doit rester moindre que 1 ou devenir tout au plus égal à 1. Ainsi x ne peut varier que de — a à -f- a, cl y que de — b à + t. On a x = dza pour y = 0, ce qui donne les points A et A'; et y = ±b pour x = 0, ce qui donne les points B et B'. D’ailleurs les deux coordonnées varient en sens inverse; si l’une augmente, il faut que l’autre diminue. Toutes ces circonstances répondent à la forme indiquée dans la figure 9.

On pourrait déduire de l’équation [4] beaucoup de propriétés delà courbe; mais cette recherche fera l’objet d’un autre chapitre.

12. Hyperbole. Lieu des points tels, que la différence de leurs distances à deux points fixes F et F' (fig. 10) est constante et égale à une longwur donnée 2a moindre que FF'.

Ce lieu doit être symétrique par rapport à la droite FF qui joint les deux points fixes, et par rapport à la perpendiculaire élevée sur le milieu de FF' ; par les raisons exposées au n" 11, il convient donc de prendre ces lignes pour axes

coordonnés. Ce lieu est indéfini dans le sens des x positifs et négatifs, ainsi que dans le sens des y positifs et négatifs; car il n’est autre chose que le lieu des intersections des circonférences décrites des points F et F' comme centres, avec des rayons qui diffèrent de ia ; or, on peut, tout en remplissant cette condition, prendre ces rayons assez grands pour que le point d'intersection soit aussi éloigné qu’on le voudra de l’origine. Si l’on prend sur FF', et à partir de l’origine, deux longueurs OA, OA' égales entre elles et à a, les points A et A’ ainsi déterminés seront des points du lieu; car on aura, par exemple,

AF ' — AF = AA'-t-A'F' — AF = AA’ = 2«, -

attendu que A'F’ = AF comme différences de quantités respectivement égales. Si l’on compare au point A un point quelconque situé sur FF' entre A et O, on voit que sa distance à F' sera moindre, et sa distance à F plus grande; la différence de ces deux distances sera donc moindre que 2a; ce point sera donc situé hors du lieu. On en dirait autant de tout point situé entre O et A'. II n’y a donc aucun point du lieu entre A et A'. Ce lieu doit donc avoir à peu près la forme indiquée dans la figure 10.

Pour obtenir son équation, on fera un calcul tout à fait analogue à celui du n° II, et l’on obtiendra de même

«V -{-(a* — c’Jx* —a\a' — c*) .

Mais ici, a étant moindre quec, a* — c’ est essentiellement négatif, et si on le remplace par — b \ il viendra

aV— &V=— aW ou fc=i.

On voit que x ne peut être inférieur à a, car autrement le premier membre serait inférieur à 1 ou négatif; il en résulte que si l’on mène par A et A' des parallèles à l’axe des y, la courbe n’aura aucun point entre ces deux parallèles. Pour y = 0, on aura x= rfca; pour x = 0 , y serait imaginaire, ce qui doit être d’après la remarque qu’on vient de faire. D’ailleurs, si x croit, il faut que y croisse en même temps pour que le premier membre reste égal à 1 ; la courbe va donc en s’éloignant des deux axes, tant du côté positif

que du côté négatif; elle est par conséquent illimitée dans tous les sens. Toutes ces circonstances répondent à la forme indiquée dans la figure 10.

Celte courbe est connue sous le nom d'hyperbole. On peut en

tracer un arc d’un mouvement continu. Pour cela on se sert d’une règle DD' (tlg. 11), dont un bord passe par l’un des deux points fixes, F' par exemple, et qu’on fait tourner autour de ce point en maintenant la distance F'D invariable. Un fil, dont la longueur est inférieure à F'D d’une quantité égale à 2a, est attaché par l’une de ses extrémités en D, et par l’autre en F. Pendant le mouvement de la règle, on tend le fil contre son bord au moyen d’un style, dont l’extrémité décrit l’arc BA de la courbe. 11 est clair, en effet, que l’on a

F'D — (MD -f MF) = Sa,

ouMF' + MD — (MD-t-MF)=2a, ou encore MF' — MF=-2a, ce qui est la définition du lieu.

13. Parabole. Lieu des points dont chacun est également distant d’une droite fixe DD' et iCun point fixe F (fig. 12).

Ce lieu est évidemment symétrique par rapport à la perpendiculaire AX abaissée du point fixe F sur la droite fixe DD' ; de plus, il doit passer par le milieu O de la distance FA. Il ne peut avoir aucun point à gauche de la perpendiculaire YY’ à AX menée par le point O; car un tel point serait plus voisin de la droite DD' que du point F; le lieu est donc limité vers la gauche par la droite YY'. Mais il est aisé de voir qu’il est illimité vers la droite; car ce lieu n’est autre chose que le lieu des centres des cercles tangents à DD', et passant par le point F; or,

si l’on se donne arbitrairement un rayon r, aussi grand que l’on voudra, on obtiendra deux points du lieu, situés à l’intersection d’une parallèle à DD' menée à une distance r de cette droite, et d’un cercle décrit du point F comme centre, avec r pour rayon : les points ainsi obtenus seront donc à une distance de DD' aussi grande que l’on voudra; ainsi le lieu est illimité vers la droite (si F est à droite de DD').

Afin d’obtenir son équation, prenons AX et YY' pour axes; l’équation ne contiendra ni puissances impaires de y, ni terme indépendant de y et de x. Soit M un point quelconque du lieu ; menons MO parallèle à AX, MP perpendiculaire à Taxe des x, et joignons MF ; faisons AF =p. Nous aurons

MQ=PO-fOA = ;r-f *p

et MF*=y*-f(x — ip)*.

Donc, d’après l’énoncé, on aura

(*+ip)*=y,-H*-*f’)‘;

telle est l’équation du lieu. En réduisant, on en tire

y'=îpx,

équation qui ne renferme ni puissances impaires de y, ni tonne indépendant de y et de x, ainsi que nous l’avions annoncé.

Le lieu représenté par cette équation est limité par YY', car y et p étant positifs, on ne peut donner à x aucune valeur négative. Il est illimité dans le sens des x positifs; car, quelque grande valeur positive qu’on attribue à x, on en tirera deux valeurs réelles, égales et de signes contraires, pour y. On voit de plus que y augmente quand x augmente, et que par conséquent la courbe va en s'éloignant de l’axe des x à mesure qu’elle s’éloigne de l’origine.

Cette courbe, connue sous le nom de parabole, peut être tracée d’un mouvement continu. Pour cela, on applique le long de la droite fixe DD' (fig. 13), une règle sur laquelle on fait glisser une équerre

DNQ; un fil, égal en longueur au côté NQ de l'équerre, est attaché par l’une de ses extrémités au point N, et par l’autre au point fixe F; pendant le mouvement de l’équerre, on tend le fil au moyen d’un style qui s’appuie contre le côté NQ; la pointe de ce style trace l’arc OB de la courbe. Il est clair, en effet, que puisque NQ et NMF sont deux longueurs égales à celle du fil, on doit avoir MQ = MF, ce qui est la définition de la courbe.

44. Aulrn exemple* de llenx géométrique*, lieu des points M (fig. 14) dont les distances à deux points fixes A et B sont entre elles dans un rapport constant.

On sait, par la Géométrie élémentaire, que ce lieu est une circonférence de

cercle dont le centre est sur le proion- / gement de la droite qui joint les deux points fixes. Comme le lieu est évidemment symétrique par rapport à cette droite, prenons-la pour axe des x et choisissons des axes rectangulaires ; à chaque abscisse devront correspondre deux ordonnées égales et de signes contraires; l’équation du lieu ne contiendra donc aucune puissance impaire . de y , ce qui aura pour effet de la simt'ig. 14. plifier. De plus, comme le lieu doit passer

par le pointO qui divise la distance AB dans le rapport donné , et que nous pouvons déterminer ce point à l’avance, prenons-le pour origine; l’équation de la courbe, devant alors être satisfaite quand on y fera *=0 et y = 0, ne contiendra aucun terme indépendant de ces variables, ce qui sera une nouvelle simplification. Posons AO = m et BO = n; soit M un point quelconque du lieu, dont les coordonnées sont x et y; on aura (7)

M A* = (m + x)’-fy 3 et MB* (» — *)’ + y*.

Or, d'après la définition du lieu, on doit avoir

ï£=-, d’où MB’, m1— MA*. n’ = 0,

Mu fl

ou , en mettant pour MA* et MB1 leurs valeurs, et simplifiant,

(m1 — n') X? — 2mn(m-fn) i-f (m3 — n’)ÿ3=0, ou encore (m— n)x3 — 2 mnx + (m— n) y3=0 [IJ.

Telle est l’équation du lieu.

GÉOM. ANAL. 2

Si m est différent de n, on peut diviser par m — n, et il vient

équation de la même forme que l'équation [4] du n" 10 , et qui représente également une circonférence passant par l'origine et ayant son centre sur l’aie des x. C’est ce qu'on reconnaît en ajoutant aux deux membres le carré de

> car l’équation peut alors être mise sous la forme

et exprime que la distance de chaque point du lieu au point qui a pour coordonnées x = — *nn et y = 0, est constante et égale à wn ; c’est donc bien une circonférence passant par l’origine, ayant son centre sur l’axe des x et pour rayon , quantité d'autant plus grande que la différence m — h est plus petite.

Si m est égal à n, l'équation fl] se réduit A 2m».r=:0, ou simplement à x = 0, ce qui représente l’axe des y (6, rem. iv). El , en effet, cet axe divise alors la distance AB en deux parties égales, et l'on sait que la perpendiculaire élevée sur le milieu d'une droite est le lieu géométrique des points du plan dont les distances aux extrémités de cette droite sont égales.

4S. CUnoVdc. Étant donnés un cercle C (fig. 15) et une tangente DD” à ce cercle ; par le point O, extrémité du diamètre OA qui passe par le point de contact, on

mène une sécante quelconque, qui coupe la circonférence en un point I et la tangente en un point H ; sur cette sécante, à partir du point O, on prend une longueur OM égale à IB; on demande le lieu du point M ainsi obtenu.

On reconnaît que ce lieu sera symétrique par rapport à OA. De plus, à mesure que la sécante s'écartera de OA, la distance IB augmentera; il en sera donc de même de OM, et le point M ira en s’éloignant indéfiniment du point O, sans pouvoir toutefois atteindre jamais la droite Dty, car IB sera toujours moindre que OB. Le lieu aura donc à peu près la forme indiquée par la figure 15.

Afin de simplifier son équation, nous prendrons OA pour axe desx; la courbe étant symétrique par rapport à cet axe , son équation ne renfermera pas de puissances impaires de y. Prenons le point O pour origine. Abaissons sur OA les perpendiculaires MP et IQ; soient OP x, MP = y, OA = «.

La similitude des triangles OMP et 010 donne l’égalité

mp iq y jo .

OP — oo 0U r ~ oo

Les longueurs OM et IB étant égales, il en est Je même des longueurs OP et AO ; on a donc OQ = OA — AQ = OA — OP = a — x. Par conséquent ,

Mais IQ* = OQ X AO = (a — *) *•

Tirant de l’égalité ci-dessus ia valeur de y, élevant au carré et remplaçant IQ* par (a — x) x, on obtient

Telle est l'équation du lieu. Pour que le second membre soit positif, il faut que x reste compris entre 0 et o,- la courbe est donc tout entière comprise entre DD' et l’axe des y. Pour x — 0 , on a y = 0: ainsi l’origine est un point du lieu. A mesure que x augmente, le numérateur du second membre augmente, tandis que le dénominateur diminue; par cette double raison, le second membre, et par suite y, augmentent; la courbe va donc en s'éloignant des deux axes. Enfin , pour j = a,onay = x, ce qui signifie que le lieu n’atteint Diy qu'à une distance infinie. Ces différentes circonstances répondent à la forme indiquée dans la figure 15. .

La courbe dont nous nous occupons porte le nom de cissoide de Dioclèt , ou simplement cissoide.

16. I.einnlurutc. lieu des points tels, que le produit des distances de chacun

d'eux à deux points fixes F et F' (fig. 16) est égal au carré de la moitié de FF'.

Ce lieu sera, comme ceux des n" Il et lî, symétrique par rapport à FF* et par rapport à la perpendiculaire YY' élevée sur le milieu O de cette droite. Le point O sera un point du lieu , et les distances des différents points de la courbe aux deux points fixes F et F varieront en raison inverse l’une de l'autre. On reconnaît avec un peu d’attention que ces distances ne peuvent dépasser une certaine limite. Soit, en effet, M un point du lieu; joignons MF, MF', et posons, pour abréger,

MF = p, MF=p' et FF = îo.

D’après l’énoncé, on aura pp' = a’.

Or, dans le triangle FMF' on devra avoir

MF'— MF < FF, ou p'-p <lo,

Fig. 16.

ou, en multipliant par p',

p” — pp<2ap'î ou p' — a,<2op'1

ou encore — 2 op' + a3 < 2 o> ,

c’est-à-dire (p' -o)’<ïo!,

d’où p'<o(l -t-v/2)-

Si l’on suppose, au maximum , p' = o (l -f-yT), il en résulte p' — p = 2 a; ce qui répond à un point, tel que A, situé sur le prolongement de FF*. La courbe part donc du point O pour revenir en A ; à cause des symétries dont nous avons parlé, elle a la forme d’un 8 couché, comme l’indique la ligure 16.

Pour obtenir son équation, rapportons-la aux axes FF' et YY'; et soient i et y les coordonnées du point M. Nous aurons (7 , rem. i)

MF* OU p> = y» + (* — o)’ et SF* ou p” =r y1 -f (* + )*.

Or, MF.MF'asa’ ou pp'~a’, d’où p1 p'1 = o‘.

Mettant pour p’ et p’’ leurs valeurs, il viendra

[y5 -)-(*— o)*] [y*-f (x+a),] = o* ou [(y’+x’+o1)— 2a*] [(y,+i3-fo’)+2ax]=o‘, ou bien (ï’ + i’-f c??— hàV = a',

d’où y3 + *J-f-o,= v'4uV-i-o‘,

en ne prenant le radical qu'avec le signe -f-, attendu que le premier membre est essentiellement positif. De là on tire

y3=Ov/ ix’ + a1 — (a^ + a5).

Telle est l'équation du lieu cherché , résolue par rapport à y2.

Si l'on veut obtenir les points où la courbe rencontre l'axe des * , il faut supposer y = 0 dans l'équation non réduite. On en tire

ce qui donne *,=2a’, d’où x=±av 2,

ou bien *J = 0, d’où x—0.

Les premières valeurs répondent aux points A et A', et s’accordent avec ce qui a été dit plus haut. La dernière valeur répond au point O. En faisant varier * de 0 à av/2 , on reconnaît que y augmente d’abord pour diminuer ensuite; il suffit, pour s'en assurer, de donner à z des valeurs particulières telles que

a lü > a

10 10 "fiT'

etc.

On verrait que la plus grande valeur de y a lieu entre * = 5^- et * = ■— ’ et

que la courbe a bien la forme que lui assigne la figure 16.

Cette courbe est connue en Géométrie sous le nom de lemnitcale.

17. Les exemples qui précèdent suffisent pour faire comprendre comment une ligne plane, susceptible d'une définition géométrique, peut être représentée par une équation entre les coordonnées rectilignes de ses points : c’est le seul but que nous nous soyons proposé pour le moment. Les élèves pourront s’exercer à traiter les exemples très-simples qui suivent; en ayant soin avant de rechercher l’équation de chaque lieu, de tâcher de déduire de l’énoncé môme la forme générale que ce lieu affecte. Quand ils auront ensuite trouvé son équation, ils y chercheront la vérification de la discussion synthétique à laquelle ils se sont déjà livrés; et cette comparaison de deux méthodes, tout en fortifiant leur esprit, aura l'avantage de leur inspirer plus de confiance dans les indications du calcul. (Le lecteur est prié de faire les figures.)

I. Trouver le lieu des points tels, que U différence des carrés des distances de chacun d’eux à deux points fixes est constante.

II. Trouver le lieu des points tels, que la somme des carrés des distances de chacun d’eux à deux points fixes est constante.

III. Une droite OB de longueur constante peut tourner dans un plan donné autour de son extrémité O ; une seconde droite AB , de même longueur que la première, est articulée en B avec elle par une de ses extrémités, tandis que son autre extrémité A est assujettie à parcourir une droite XX’ située dans le plan donné et passant par le point O. On demande le lieu décrit par un point déterminé M de la droite AB.

IV. Étant données deux droites perpendiculaires entre elles XX’ et YY' et un point A sur XX’, on mène par le point A une droite quelconque terminée en B sur YY’, puis par le point B une perpendiculaire à AB, terminée en C sur XX', enfin par les points B et C des parallèles à XX’ et à YY'. On demande le lieu du point M où ces parallèles se rencontrent.

Y. Étant données deux droites qui se coupent, XX' et YY', et un point A situé dans leur plan, on mène par le point A une droite quelconque qui coupe les droites données en B et en C, puis par les points B et C des parallèles à XX' et â* YY'. On demande le lieu du point M où ces parallèles se rencontrent.

VI. Étant donnés un cercle C et une tangente DD' à ce cercle, par l’extrémité O du diamètre perpendiculaire à la tangente, on mène une droite quelconque qui coupe la circonférence en I et la tangente en B ; sur le prolongement de cette droite on prend une longueur BM égale à BI ; on demande le lieu du point M.

VII. Trouver le lieu des points tels, que le produit des distances de chacun d’eux à une droite fixe et i un point fixe est une quantité constante.

VIII. Étant donnés un cercle O et un diamètre XX', on mène deux rayons rectangulaires quelconques OA et OB; et, de l’extrémité A de l’un, on abaisse

sur XX' uns perpendiculaire. On demande le lieu du point H où cette perpendiculaire rencontre l’autre rayon OU prolongé.

S 3. EXEMPLES DE LA REPRÉSENTATION DES PONCTIONS MATHÉMATIQUES OD EMPIRIQUES PAR DES COURBES.

18. Toutes les fois que deux grandeurs variables dépendent l’une de l’autre, de telle sorte que, quand on attribue une valeur à l’une d’elles, l’autre se trouve par cela môme déterminée, on peut concevoir que ces grandeurs soient liées par une équation, telle que fÇx,y) = 0, ou mômei/= ? (x), bien qu’il ne soit pas toujours possible d’assigner la forme mathématique des fonctions f ou <p. Or, si l’on regarde a; et y comme les coordonnées rectilignes d’un point par rapport à deux axes tracés dans un plan, chaque couple de valeurs de a; et de y satisfaisant à l’équation ci-dessus correspondra à un point du plan ; et, si la fonction fou ji est continue, la série de ces points sera elle-même continue et formera une courbe qni pourra tenir lieu de l’équation, et qui peindra, en quelque sorte, la relation des deux variables considérées.

Si la fonction f ou ? était discontinue, on aurait, au lieu d’une courbe, une certaine série de points isolés; mais ce cas offre peu d’intérêt, attendu que les phénomènes naturels sont, par leur essence même, soumis à la loi de continuité. Nous ne nous occuperons donc, dans ce qui va suivre, que des fonctions continues.