Soit enfin B1 — 4AC = 0. On a alors
Y = ~ y' 2 (BD — 2 AL) x + ü‘ — 4A F,
et l'on voit que pour BD — 2AE>0, la quantité placée sous le radical est positive pour toutes les valeurs de x à partir d’une certaine limite jusqu’à -j-oo . Par suite, Y augmente indéfiniment aveex. Donc l’équation [1] représente dans ce cas un lieu qui, à partir d'une certaine limite, s'étend indéfiniment du côté des x positifs, au-dessus et au-dessous du diamètre [2].
QuandonaBD — 2AE<0, le lieu s’étend indéfiniment du côté des x négatifs, au-dessus et au-dessous du diamètre [2].
Les lignes du second ordre qui s’étendent indéfiniment dans un sens seulement portent le nom de paraboles.
130. Cas particuliers. La classification qui précède des lignes du second ordre est basée sur la considération du signe du binôme B* — 4AC, qui dépend uniquement des coefficients des termes du second degré de l’équation [1]; elle suppose que A n’est pas nul. Nous n’avons d’ailleurs rien supposé sur les deux autres coefficients B et C. Pour compléter cette classification, nous allons examiner les cas particuliers qui peuvent se présenter.
Supposons A = 0 et B1 — 4AG>0, auquel cas l'on a B 5^0; et faisons les deux hypothèses C ^ 0, puis G = 0.
Soit C^O. Comme on peut permuter les noms des axes, ce cas particulier revient à supposer C = 0 et À^O. Mais alors, en résolvant l’équation [1] par rapport à y, on trouve B* pour le coefficient de x * sous le radical, et on voit que le lieu représenté par l’équation, dans ce cas particulier, est une hyperbole.
Supposons maintenant C = 0. L’équation est alors de la forme
Bxv/ -f- Dj/ -f- Ea? -f- F = 0 [4].
Comme elle n’est plus du second degré par rapport à aucune des deux variables, on ne peut plus la discuter comme précédemment. Résolvons- la successivement par rapport à x et par rapport à y, nous trouverons
Ex-fF
Bx-f-D
et
Dy + F By+E’
d’où il suit qu’à une valeur réelle de x répond une valeur réelle de y et réciproquement. Ainsi, le lieu représenté pari’équation [4] s’étend indéfiniment dans tous les sens. Ce lieu est donc encore une hyperbole. Nous laissons au lecteur le soin de continuer l’exameu des cas particuliers dont il s’agit, et nous aurons d’ailleurs occasion d’y revenir en étudiant séparément chacun des trois genres de courbes du second degré.
140. Genre ellipse, caractérisé par B* — 4AC<0. Soit EF (fig. 61) le diamètre représenté par l'équation [a]. Pour discuter Y,
décomposons le trinôme placé sous le radical en deux facteurs du premier degré en x, et nous aurons
Y =-^(11* — 4AC) (x — x’) (x— x"),
x' et x" désignant les racines du trinôme. Il y a trois cas à examiner.
1° Les racines x' et x" sont réelles et inégales. Pour x~x’ = OP et pour x = x"=OP', on a Y = 0; les ordonnées de la courbe sont égales à celles du diamètre; les abscisses x' et x" sont donc celles des points A et A' où la courbe coupe ce diamètre.
Pour toutes les valeurs de x plus petites que x'ou plus grandes que x”, le trinôme est négatif, et, par suite, Y est imaginaire; pour tontes les valeurs de x comprises entre x' et x", le trinôme est positif et Y est réel. Donc la courbe est comprise entre les deux parallèles AP et AP1 à l’axe des y.
La valeur de Y étant nulle pour x=x' et pour x=xv, passe dans l’intervalle par un maximum. Ce maximum correspond à la valeur absolue du produit
lequel a lieu pour x — —F—, puisque la somme des deux fac-
teurs x — x'et x" — x est égale à la quantité constante x" — x'. Le
maximum de Y correspond donc à l’abscisse moyenne — ,
qui est celle du point Q, milieu de PP'. Soient B1 et B les points de la courbe qui correspondent au maximum de Y. Si, par ces points, nous menons LG et IH parallèles au diamètre EF, la courbe sera comprise entre ces deux parallèles. Nous savons d’ailleurs qu’elle est comprise entre les parallèles AP et AP'; donc elle est tout entière dans le parallélogramme LGHI.
Le point C, où l’ordonnée maximum coupe le diamètre, est un centre de la courbe. On pourrait le démontrer en cherchant les coordonnées du centre au moyen de l’équation proposée; mais on peut aussi le démontrer directement. Pour cela, remarquons que
Y a la même valeur pour x = — ^ h et pour x = — ^ —
d’où il suit que si l’on prend de part et d’autre du point 0» les longueurs QH = QR' = /», on aura MD = DM' = ND' = D'N'. D’après cela, si nous menons les lignes CN et CM', les deux triangles ND'C et M'DC sont égaux, par suite CN=C'M' et DGM' = NCD'. De l’égalité de ces angles résulte que GM' est sur le prolongement de CN. Le point C, milieu de la corde NM', est donc le centre de la courbe.
Le quadrilatère MND'D, dont les côtés ND' et MD sont égaux et parallèles, est un parallélogramme. Donc MN est parallèle au diamètre AA'; et puisque BB' divise DD' en deux parties égales au point C, il divise aussi MN en deux parties égales. La droite BB’ divisant en parties égales les cordes parallèles au diamètre AA' est aussi un diamètre de la courbe, et de plus c’est le conjugué de AA'.
Enfin , la courbe est tangente aux côtés du parallélogramme LGHI, aux points A, A', lî et B’. Cela résulte de ce qu’une courbe du second ordre ne peut être coupée qu’en deux points par une ligne droite (00) et de ce que les quatre côtés du parallélogramme peuvent être considérés comme les limites de sécantes dont les points d’intersection se confondent en un seul. On peut aussi le démontrer en cherchant la valeur du coefficient angulaire de la tangente en chacun de ces quatre points.
Il résulte de cette discussion que la courbe a la forme indiquée par la figure 61.
Exemple. Soit l'équation
4 y3 — 4ry + 2x3 — 8y — 2* +9=0; on en tire
La courbe a donc pour diamètre la droite y ={*-(- 1; elle est tout entière comprise entre les droites x= 1 et ar=5, et la plus grande valeur de Y, répondant à* = 3, est Yr=l. Les coordonnées du centre sont x = 3, y = *.
La forme et la position de la courbe sont représentées par la figure 62.
141. 2° Le s racines x' et sont réelles et égales. Alors on a
et le radical élanl toujours imaginaire, la valeur de Y n’est réelle que pour x=x'. Dans ce cas, l’équation proposée ne représente qu’un seul point, le point C (fig. 61), et l’on dit que l’ellipse se réduit à son centre.
Exemple. Sait l'équation
y' + hty +5i»— 2 y — 10* + 10=0;
on en tirera
éqüation qui n'admet qu’un seul système de valeurs réelles, savoir *=3, d’où y= — 5,
et ne représente que le point dont ces valeurs sont les coordonnées.
142. 3” Les racines x' et x* sont imaginaires. Dans ce cas, pour toute valeur réelle de x, le produit ( x — x^x — x") est positif; par suite, le trinôme sous le radical est négatif et Y est toujours imaginaire. L’équation [1], dans ce cas, n’est susceptible d’aucune représentation géométrique ; on dit alors qu’elle représente une ellipse imaginaire.
Exemple. Soit l'équation
4 y3 — 8xy-f5*’-f4y — 3* + 2=0; en la résolvant par rapport à y, on trouvera sous le radical le trinôme
Or , les racines de l’équation s* + * + 1 =0 sont imaginaires ; l’équation proposée représente donc une ellipse imaginaire.
Remarque. Dans le cas de l’ellipse, aucun des coefficients A et G ne peut être nul , c’est-à-dire qu’aucun des carrés des variables ne peut manquer.
145. Résumé. En résumé, le genre ellipse comprend comme variétés un point ou une ellipse imaginaire.
La circonférence de cercle appartient évidemment au genre ellipse.
144. Genre hyperbole, caractérisé par la condition B! — 4AC]>0. Soit EF (fig. 63) le diamètre représenté par l’équation [2], et
Y = ^ M»*- 4AC) (x - af) (* - x”),
x' et x " étant les racines de l’équation qu’on obtient en égalant à zéro le trinôme placé sous le radical.
Fig. 63.
1° Les racines x' et x" sont réelles et inégales. Pour x=x' = OP' et pour x=*"=OP, on a Y=0. Pour ces abscisses, les ordonnées de la courbe sont donc égales à celles du diamètre EF. Ainsi dans ce cas, comme dans le cas de l’ellipse, les abscisses x1 et x" déterminent les points A et A', où la courbe rencontre le diamètre EF.
Pour que le radical soit réel, il faut que les deux binômes x — x!
et x— x" soient de môme signe, ce qui exige qu'on ait x<x' ou x>x". On en conclut que la courbe n’a aucun point entre AP' et AP parallèles à l’axe des y, qui ont pour équation x=x' etx=x". Mais on peut faire varier a; de a;’ à — <x> , puis de x" à -f- œ . La courbe se compose donc de quatre branches infinies dont deux partent du point A et les deux autres du point A'.
I V6. Si par le point Q, milieu de P'P, l’on mène CQ parallèle
à l’axe des y, et dont l’équation estx= — ~ — , on démontrera,
comme dans le cas de l’ellipse : 1° que le point G est le centre de la courbe; 2° que la droite CQ est un diamètre conjugué au diamètre EF; 3° enfin, que la courbe est tangente aux droites A'P' et AP aux points A et A'.
140. L’hyperbole a deux asymptotes. En effet , les équations des asymptotes aux courbes représentées par l’équation [1] sont (125)
Bx -j- D 1 2 A 2A
, BD — 2AE ^ Va’ — 4 AG/’
et, dans le cas de l’hyperbole, on a B’ — 4AC>0. On voit en même temps que l’ellipse et la parabole n’ont pas d'asymptotes.
Rappelons que ces équations s’obtiennent en complétant le carré dont on a les deux premiers termes en x sous le radical, et en remplaçant le radical par la racine de ce carré.
L’examen de ces asymptotes permet de mieux déterminer la forme et la position de la courbe. On sait d’abord quelles passent par le centre C (127, rem.); et, en effet, si on pose
/m — 7-rrr , BD— 2AE „ x v^B1 — 4ALH — =0.
