CHAPITRE TI

§ I. DISCUSSION DE L’ÉQUATION GÉNÉRALE DU SECOND DEGRÉ A DEUX VARIABLES.

158, Division des lignes du seeond ordre en trois genres.

L’équation du second degré à deux variables la plus générale est de la forme

Ar/’ + Bxy + Cx'+Dy-f Ex-f F = 0

résolvons-la par rapport à y, le coefficient A étant supposé différent de zéro, il vient

!/=- ± ± y/ (B* — 4 AC) x* + 2 (BD — 2AE) x + D* - 4 A F.

Construisons d’abord la droite, qui a pour équation

Bx-f-1)

Pour avoir les ordonnées de la ligne représentée par l’équation [1], il suffit d’augmenter et de diminuer chaque ordonnée de cette droite de la valeur que prend l’expression

^i/(B*— 4AC) x’ + 2 (BD — 2 AE) x -f D’ — 4AF [3],

quand on y remplace x par l’abcissc correspondante. La droite [2], qui divise en deux parties égales chacune des cordes parallèles à l'axe des y, est un diamètre du lieu représenté par l’équation [1], Pour avoir la forme de ce lieu, il faut discuter l’expression [3], c’est-à-dire examiner ce que devient le trinôme placé sous le radical lorsqu’on attribue à x diverses valeurs.

Rappelons d’abord qu’étant donné un polynôme entier en x et ordonné par rapport aux puissances décroissantes de cette variable , on peut toujours assigner à x une valeur positive et une valeur négative pour lesquelles la valeur du polynôme ait le même signe que son premier terme, et à partir desquelles, x variant jus-

qu’à ±œ , le polynôme conserve toujours le même signe. D’après cela, pour discuter l’expression [3], que nous désignerons par Y, nous supposerons successivement

R* — 4AC<0, B*— 4AC>0 et B* — 4AC = 0.

1 ."6. Soit B’— 4AC<0. Il résulte du théorème que nous venons de rappeler, que pour toutes les valeurs de# à partir d’une certaine limite jusqu’à « , et pour toutes les valeurs depuis une antre limite jusqu'à — * , le trinôme sous le radical a toujours le même signe que son premier terme. Or, le coefficient de ce terme est négatif, tandis que x’ est toujours positif. Donc, pour ces valeurs de a;, le trinôme est négatif, et, par suite, Y est imaginaire. Le lieu représenté dans ce cas par l’équation [1] est donc limité du côté des x positifs et du côté des a: négatifs. D’ailleurs, comme pour des valeurs de x lînies, Y reste fini, ce lieu est aussi limité de part et d'autre du diamètre [2]. Les lignes du second ordre, limitées dans tous les sens, portent le nom d’ELLiPSES.

137. Soit B'— 4AC>0. Dans ce cas, le trinôme reste positif pour toutes les valeurs de x à partir d’une certaine limite jusqu’à -f- <*> , et pour toutes les valeurs de x à partir d'une autre limite jusqu’à — oo . Les valeurs correspondantes de Y sont réelles cl augmentent indéfiniment. Donc le lieu représenté par l’équation [1] s’étend indéfiniment du côté des x positifs et du côté des x négatifs, ainsi qu’au-dessus et au-dessous du diamètre [2]. Les lignes du second ordre qui s’étendent indéfiniment dans tous les sens portent le nom d’HYi>EHBOLES.