AF

en complétant le carré dont on a les deux premiers termes en x sous le radical ; on voit, en faisant varier x de x"à -j- œ , que la différence Y, — y est toujours positive, et qu’elle a pour limite zéro. Cette branche de courbe a donc bien pour asymptote la droite D'D , du côté des x positifs, et se trouve placée au-dessous de celte asymptote par rapport au diamètre EF. En comparant de même les ordonnées des trois autres branches de la courbe aux ordonnées correspondantes des droites DD' et LL', on reconnaît que ces droites sont bien des asymptotes de l’hyperbole, et que la courbe a la position indiquée par la figure 63.

Exemple. Soit l’équation

4 y5 — &xy + 3x,+ ky — * + 5= 0;

on en lire y =*— 1 ± ivV — ïx — 5,

ou y =* = J v'(x+ 1) (* — 4).

La courbe s'étend indéfiniment dans tous les sens; mais elle n’a pas de points compris entre les deux parallèles x = — 1 et x = 4.

En complétant le carré sous le radical, et en extrayant la racine carrée, on obtient

y=r+ >db| (x — 1).

Ce sont les équations des asymptotes. En les séparant on trouve y = \x et y=i*+l.

La forme et la position de cette courbe sont représentées par la figure G4.

147. 2° Les racines x' et x" sont réelles et égales. Dans ce cas, on a

Y=2l(*— aOv'U’— 4AC, et y = — llr2~^ D- ± ^ (a; — a/) t/B* — 4 Ai: •

L’équaiion [1] représente alors deux droites réelles. Ces droites sont précisément les deux asymptotes DD' et LL' obtenues dans le cas précédent. En effet, les racines de l’équation que l’on obtient, en égalant à zéro le trinôme sous le radical, étant égales, on a

d’où

et, par suite,

Bat -|- D 1

, BD — 2AE\ ‘ y/lf— 4AC/

Remarques. I. Lorsque l'équation [1] se réduit à celles des asymptotes de l’hyperbole, on peut la mettre sous la forme

> f^p=4Âü+»=i*iy=o.

2A ) 4A‘\ ¥ Tv'l)'- 4 AC/

et l’on voit que le premier membre est alors décomposable en un produit de deux facteurs qui, égalés à zéro, donnent précisément les équations des asymptotes.

II. Comme ces équations ne dépendent pas du terme constant F, il en résulte que si ax -j-6j/+c = 0 et a'x -f- b'>j-\-c?—0 représentent deux droites qui se coupent, l’équation

(ax -f + c) (a'x- f- b'y-\-c') -|- F = 0

représentera toutes les hyperboles ayant ces deux droites pour asymptotes.

IA8. 3° Les racines x' et x” sont imaginaires. Dans ce cas on sait que le produit (x — x')(x — a?) est positif pour toutes les valeurs réelles de x\ il en résulte que Y est toujours réel et croit jusqu’à l’infini, sans jamais s’annuler. Ainsi, dans ce cas, la courbe ne rencontre pas le diamètre EF, et Y passe par un minimum qui

correspond à l’abscisse x = — -t— •

Soien l PC (fig. 65) la parallèle à l’axe des y menée par le point P tel

qtlC OP

, et B, B’ les points où elle rencontre la courbe ;

si par ces points on mène deux parallèles au diamètre EF, la courbe n’aura aucun point compris entre ces deux parallèles, el de plus ces lignes seront tangentes à la courbe.

Le point C est le centre de la combe, on le démontre comme pour l’ellipse. Enfin, DD’ et LL’ étant les asymptotes, on trouve,

en comparant les ordonnées de la courbe aux ordonnées correspondantes de ces asymptotes, que la courbe a la forme et la position indiquées par la figure 65.

Exemple. Soit l’équation 4yJ — 8IÏ + 3J1— 4y + 6i — 4=0; on en tire

La trinôme sous le radical ayant ses racines imaginaires , la courbe ne coupe pas le diamètre représenté par l'équation y=x + ~. Le minimum de Y est 1 ; il correspond i x= 1.

Les équations des asymptotes sont

La forme et la position de la courbe sont représentées par la figure G6.

149. Cas paritcniicrs. Soit A = 0. L’équation [1] est alors de la forme *

Bxy + Cx5 -}- Dy + Ex -f- F = 0 .

On pourrait la résoudre par rapport à x et la discuter comme dans le cas général; mais il est plus simple de la résoudre par rapport à y. On en lire

Cj’+Es-I-F V~ üx + D ’

ÉQUATIONS DU SECOND DEGRÉ A DEUX VARIABLES. 145 d'où, en effectuant la division autant que possible, on obtient

y=Mæ+N-f-

Rr-t-D’

Mx-f- N désignant le quotient, et R le reste.

Posons ï/i = T7— 7— TT* On voit que s‘ i’on construit la droite

DD' (lig. 67), qui a pour équation y=Ma;-}-N, on obtient les

Fig. 67.

points de la courbe en ajoutant algébriquement aux ordonnées de cette droite les valeurs que prend yi pour les abscisses correspondantes.

Soit x = OP une abscisse pour laquelle y, est positive, et A le point de la courbe correspondante. En faisant varier x depuis OP jusqu’à + 00 » Vt diminue depuis AK jusqu’à 0. Donc il existe une branche AN de la courbe qui, partant du point A, s’étend indéfiniment du côté des x positifs, et qui a D'D pour asymptote.

Si l’on fait varier x depuis x=OP jusqu’à la valeur x= — jj,

qui annule le dénominateur Bx+Ü, y, variera depuis y, = AK GÉOM.ANAL. 10

H6 GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE A DEUX DIMENSIONS, jusqu’à -j-œ . Donc si LL' csl la parallèle à l’axe des y qui a pour équation x = — jj , la courbe a une seconde branche AM qui

a L'L pour asymptote du côté des y positifs.

Soit æ = OP' une abscisse pour laquelle yt est négatif, et soit A' le point de la courbe correspondant. En faisant varier x d’abord

de x — OP' jusqu’à x= — jj, y, varie depuis A'K.' jusqu’à — <* ; puis

x variant de x= OP’ jusqu’à — « , y, varie depuis K' A' jusqu'à 0. Donc la courbe a deux autres branches infinies, A 'N' et AM', dont l’une a pour asymptote LL' et l’autre DD'.

Le point C où les deux asymptotes se coupent est le centre de

la courbe ; on le démontre en remarquant que x = — jj est

l’abscisse du pointe, et que pour x = — ~ ± h, les valeurs de y, sont égales et de signes contraires.

lot). La discussion précédente suppose R^O. Si R était nul , on aurait

(v^+Frr + F lbc-j-0

d’où (y — Mæ-j-N)(Ba;-|-D)=0,

équation qui représente les deux asymptotes. On dit, dans ce cas, que l’hyperbole se réduit à scs deux asymptotes.

loi. Soient A = 0 et C = 0. L’équation [1] prend la forme

Rry -f- Dy -}- Ex -f F = 0.

„ .. Eæ + F

On en tire y = ïi,

et, en effectuant la division et désignant par R le reste.

E , R D + Bx-|-D*

Par une discussion tout à fait analogue à celle du n° 149, on voit

que , si l’on a R 5^ 0 , l’équation représente une hyperbole ayant pour asymptotes la parallèle D'D (lig. 68) h l’axe des x, dont l’équation est E

y — — jj , et la parallèle

L'L à l’axe des y, dont

Fig. 68.

Exemples. I. Soit l’é juaiion

l’équation est x = — -.

Si R = 0, l’équation représente les deux asymptotes DD' et LL'.

on en lire

2xy + x' — 2y — 3x - 1=0; ■ï’+ 3x +1

Les asymptotes de la courbe ont pour équations

y=— ±* + l et i=l.

La forme et la position de cette courbe sont indiquées par la ligure 69.