II. Soit l’équation 2 ary + x1 — 2 y — 3x

on en tire y — — 2 •- — ■ — = — }* + l-

La division se faisant exactement, le premier membre de l'équation proposée se décompose en deux facteurs, et l'on a

(ÿ + ii + 1) (2* — 2} = 0,

ce qui donne les deux droites représentées par les équations y — — 1 1 + 1 et s=l.

Ce sont les asymptotes de l’hyperbole représentée par la figure 69.

132. Résume. En résumé, le genre hyperbole comprend comme variétés deux droites qui se coupent.

133. Hyperbole équiiatère. On nomme ainsi une hyperbole dont les asymptotes sont perpendiculaires entre elles. L’hyperbole équilatère est par rapport aux hyperboles, ce que le cercle est par rapport aux ellipses.

Les coefficients angulaires des asymptotes étant donnés (123) par l’équation

Bn G = 0 [t>]»

pour qu’elles soient perpendiculaires, il faut, dans le cas des axes rectangulaires, que le produit a'a ” des racines de cette équation soit égal à — 1, ce qui exige que l’on ait A= — C.

Dans le cas des axes obliques, on doit avoir (73)

1 + («' + «") cos 0 -f a'a" = 0,

1 noen vertu des relations a'-\~a"= — ^ et aa'= — A-)-C=BcosO.

134. Remarque» sur les asymptotes de l’hyperbole. Lorsque A = 0, l’équation [5] a une racine infinie et par suite l’une des asymptotes est parallèle à l’axe des y. Si C=0, elle a une racine nulle, et l’une des asymptotes est parallèle à l’axe des x. Ainsi, lorsque dans l’équation d’une hyperbole le carré de l’une des variables manque, la courbe a une asymptote parallèle à laxc de même nom que la variable dont le carré manque. Par exemple,

si c’est le terme en a:’ qui manque, l’une ries asymptotes est parallèle à l’axe des x ; et si les deux carrés manquent à la fois, les deux asymptotes sont parallèles aux axes.

Si le terme du premier degré de l’une des variablesmanque en môme temps que le carré de cette variable, l’axe de môme nom est asymptote de la courbe. En effet, supposons d’abord que l’on ait simplement A = 0. L’équation [1] se réduit à

Bxy -j- Cx’ + Di/ + Ex + F = 0 ;

et en appliquant la méthode propre à obtenir les asymptotes parallèles à l'axe des y, c’est-à-dire en divisant cette équation par y, et faisant ensuite y = w , il vient

Bx-1-D = 0,

pour l’équation de l’asymptote parallèle à l’axe des y. Si maintenant on suppose D=0, cette équation se réduit à x = 0, et représente l’axe des y. Ainsi, lorsque dans l'équation d’une hyperbole le terme du premier degré en y manque en même temps que le carré y*, cette courbe a pour asymptote l’axe des y. Lorsque , au contraire, ce sont le ternie en x* et le terme en x qui manquent, c’est l’axe des x qui est asymptote. Enfin, lorsque l’équation de l’hyperbole ne renferme que le terme en xy et un terme tout connu, les axes des coordonnées sont les asymptotes de la courbe.

Toutes ces remarques sont d’ailleurs confirmées par la discussion précédente.

lüiî. Genre parabole, caractérisé par B* — 4AC = 0. Dans CC cas on a

Y = ^ /2 ("BD — 2 AE) x + D* — 4 AF = ^ \]<L (BD — 2 AE) (x — x1),

xi désignant la valeur de x qui annule le binôme placé sous le radical.

Il y a trois cas à considérer :

1° BD — 2AE>0. Soit EF (fig. 70) le diamètre représenté par l’équation [2], Si l’on fait x=x', on a y = 0. Pour cette valeur de x, l’ordonnée de la courbe est donc égale à celle du diamètre. Soit OP=x'; le point A du diamètre EF, qui correspond

à celte abseisse, est donc le point ou la courbe coupe ce dia-

mètre. Pour toute valeur de x plus p«lite que x', Y est imaginaire, tandis que pour toute valeur de x depuis x' jusqu’à + », Y est réel. Donc la courbe n’a aucun point à gauche de la parallèle A1* à l’axe des y, donti l’équation est x — x'\ mais elle s’étend indéfiniment du côté des x positifs, en présentant la forme indiquée par 1a ligure 70.

Exemple. Soit l’équation

y1 — 2xÿ -f-*1 — 2 y +* + 3=0;

on en tire

t/=x-f 1 ifx — -2.

La court* coupe le diamètre qui a pour équation y = x + 1, au point dont le» coordonnées sont x = 2, y =3; elle n’a pas de points à gauche de la parallèle à l’aie des y qui a pour équation x = 2; elle est illimitée dans le sens des x positifs. Sa forme et sa position sont représentées par la figure 70.

2° BD — 2AE<0. Dans ce cas, la courbe n’a aucun point

à droite de la parallèle AP (lig. 70) à l’axe des y qui a pour équation x = x‘, elle s’étend indéfiniment du côté des x négatifs.

Exemple. Soit l'équation y’ — Ixij + aS — ïy + 3x— 1=0; on en tire

La courbe coupe le diamètre qui a pour équation y — x -f- I au poiut qui a pour coordonnées x= 2 et y = 3; elle n’a pas de points à droite île la parallèle à l’axe des y qui a pour équation'x - 2; elle est illimitée du côté des x négatifs. Sa forme et sa position sont représentées par la figure 71.

3° Enfin, si BD — 2AE = 0, on a alors

et l’on voit que Y est réel, nul ou imaginaire, suivant que la quantité placée sous le radical est positive, nulle ou négative. Dans le premier cas, l’équation [1] représente deux droites parallèles au diamètre EF; dans le second, elle représente deux droites qui sc confondent avec le diamètre EF; dans le troisième, l'équation n’est plus susceptible d’aucune représentation géométrique, mais on dit alors qu’elle représente deux parallèles imaginaires.

lot), cas particulier. Supposons A = 0, auquel cas, on doit avoir en même temps B=0 à cause de la relation B*— 4AC = 0. L’équation prend alors la forme

d’où

Cx* -J- Di/ Ex -j- F = 0

Cx’+Ex-f F G

x' et x" désignant les racines de l’équation

C**-fEx+F=0.

Lorsque — g est positif,

l’équation [6] représente l’une des trois paraboles MAN (fig. 72), M’A’N’ on M "A"N" suivant que les racines x' et x" sont réelles et inégales, réelles et égales, ou bien imaginaires. Ces trois courbes ont pour diamètre la parallèle AA'

à l’axe des y, qui a pour équation x — — .

Lorsque — g est négatif, l’équation représente trois paraboles

égales à celles indiquées par la figure 72, mais ayant l’ouverture dirigée du côté des y négatifs.

Io7. Bisumé. En résumé, le genre parabole comprend comme variétés deux droites parallèles, deux droites qui se confondent en une seule et deux parallèles imaginaires.

li>8. Nous engageons le lecteur à résumer la discussion précédente en faisant un tableau qui renferme les différentes conditions que doivent remplir les coefficients de l’équation [1] pour qu’elle représente : 1° une ellipse réelle, un point ou une ellipse imaginaire; 2° une hyperbole qui rencontre le diamètre, une hyperbole qui ne le 'rencontre pas, ou deux droites qui se coupent; 3° une parabole, deux droites parallèles, deux droites qui se confondent en une seule, ou deux parallèles imaginaires.

Exemples. Le leclcur pourra s’exercer A construire tes lignes du second degré représentées par les équations suivantes :

y1— 4xy -Mx’ + îy— 3x=0,

4»/— 4ry-f x3— 4x + 2*— 4=0,

4 y5 — kxy-\-x't — 4y-f2x-t-l=0,

4y!— 4xy + *!— 4y + 2x + G=0,

2xy— x!+4y— 4=0, x\j— *»— y+ 1=0, y’— 2xy + 2ï*— 2y + 2.r— 3=0.

§ 2. DU CENTRE, DES DIAMÈTRES ET DES AXES DANS LES COURBES DU SECOND DEGRÉ.

lüO. Les courbes du second degré, que nous venons d’étudier d’une manière générale, jouissent de nombreuses propriétés dont l’étude a fait longtemps l’objet presque exclusif de la Géométrie analytique à deux dimensions. Toutefois, pour que cette élude soit moins compliquée, on emploie l'équation de chaque courbe réduite à sa forme la plus simple. Or, cette réduction étant fondée sur les propriétés du centre et des diamètres, nous devons commencer par étudier ces propriétés.