Fondions mathématiques explicites. NüUS SUp|M>Sei’OnS

d’abord qu’il s’agisse d’une fonction mathématique donnée sous la forme j/ = ® (x), auquel cas y est une fonction explicite de x

Pour construire ta courbe représentant la loi exprimée par celte équation, on donne à x une série de valeurs, croissantes ou décroissantes, comprises entre les limites, s’il y en a, entre lesquelles y reste réel, ou depuis 0 jusqu’à des valeurs très-grandes, positives ou négatives, si x peut passer par tous les étals de grandeur. Ponr chaque valeur attribuée à x, on calcule les valeurs correspondantes de y, cl l’on construit les points qui ont ces valeurs pour coordouuécs. Puis, par tous les points aiusi obtenus on fait passer une ligne continue, quiapprochera d’autant plus de la courbe cherchée,

que les valeurs de x auront été plus rapprochées, et que le dessin aura été fait avec plus de soin.

Il est clair que si l’équation proposée était de la forme x= 9 (y), la marche serait exactement la môme ; on attribuerait des valeurs à y, et Ton en déduirait celles de x.

20. On prend ordinairement les valeurs de x en progression arithmétique. Cela n’est pas indispensable; mais il y a avantage à le faire quand la fonction 9 est une fonction algébrique entière, parce qu’alors on peut, pour calculer les valeurs successives de y, faire usage des différences, ce qui abrège notablement les calculs.

Soit, par exempte, à construire 00e équation de ta forme y=ax,-j- b. On rencontre des équations de cette forme dans la détermination de la courbe qu'affecte la chaîne des ponts suspendus. Supposons, pour filer les idées,

a = 0,t et 6 = 1, d'où y = 0,l.sé*pl.

On fera d’abord 1 = 0, »=f, *=2,

ce qui donne y = l, y = 1 ,1 , ÿ = l,4,

d’où les deux différences premières

U,1 et 0,3,

et la différence seconde 0,ï.

Celle-ci étant constante, on calculera immédiatement la série des différence* premières , qui sont en progression arithmétique ; et par de simples additions on obtiendra les coordonnées consécutives , comme l’indique le tableau suivant :

Abscisses: 0; 1; 2; 3-, 4; 5; 6: 7; 8; 9; 10....

Ordonnées: 0; 1,1; 1,4; 1,9; 2,6; 3,r»; 4,6; 5,9; 7.4; 9,1; 11....

Différences premières : 1,1; 0,3; 0,5; 0,7; 0,9; 1,1; 1,3; 1,5; 1,7; 1,9....

Différences secondes : 0,2; 0.2; 0,2; 0,2; 0,2; 0,2; 0,2; 0,2; 0,2; 0,2....

Pour les valeurs négatives de x, les ordonnées seront les mêmes; on aura donc la courbe indiquée dans la figure I (planches). On a pris des cordonnées rectangulaires, comme la nature de la question l'indiquait. On ne se sert, au reste, de coordonnées obliques que dans des cas particuliers que nous aurons soin de faire connaître.

Remabque. Pour construire la courbe dont nous venons de nous occuper, on peut encore se contenter de calculer les trois premières ordonnées et déterminer consécutivement toutes les autres par un tracé extrêmement simple, fondé sur la considération des différences.

Soient AO, BP, CO (fig. 17) les trois premières ordonnées équidistantes; joignons AB; prolongeons celte droite jusqu’A sa rencontre avec CO en C, et menons les droites AIH et BK parallèles à l’aie des i. Les deux différences premières seront BI et CK; la différence secoude sera donc CK — BI ; mais, d'après la construction, BI=C’K; on a donc pour la différence seconde CK — C’K, ou CC'. Et l’on voit que si celte différence seconde eût été donnée, on aurait pu, des deux premières ordonnées AO et BP, déduire la troisième CQ ; il eût suffi pour cela de prolonger AB jusqu’en C', et de prendre C'C égal A la différence seconde donnée. On obtiendra donc la quatrième ordonnée de 1a même manière, c’est-à-dire que l’on joindra BC, qu’on prolongera cette droite jusqu’en 1Y, et qu’on prendra D'D = C'C. Pour avoir la cinquième ordonnée, on tirera de même CD, qu’on prolongera jusqu’en E', et l'on prendra E'E = C'C , et ainsi de suite. Les points consécutifs dont on a besoin pour tra cer la courbe s’obtiennent par ce moyen de la manière la plus rapide.

11. Comme exemples de fonctions mathématiques explicites, nous construirons encore les équations suivantes ;

y=sm x.

Pour construire cette équation, on tracera, d’un rayon arbitraire, une circonférence que l’on divisera en parties égales assez petites pour qu’elles puissent être considérées comme se confondant sensiblement avec leurs cordes, ce qui permettra d’obtenir avec une approximation suffisante le développement d’un arc composé d’autant de parties égales qu’on voudra. La courbe, nommée sinusoïde, est représentée dans la figure 2 (planches).