IV. Q =(h—z)y/fyï
On rencontra cette équation dans la théorie du mouvement des eaux. Q est le volume d’eau écoulée en une seconde par un déversoir d’un mètre de large; h et x sont les distances du niveau de l’eau dans le bassin au-dessus de la crête du déversoir et au-dessus de la lame d'eau qui le recouvre; g est le nombre 9*, 81. Nous supposerons h = 0",4; nous prendrons i pour abscisse et Q pour ordonnée. La courbe a la forme qu’indique la figure S (planches).
Les élèves pourront s'exercer sur les exemples suivants :
ÿ=I+0,8i— 0,4**, y=cosx, y=tangx, y=sécx, y= — alog. cosx,
y=mxy/logj.
On rencontre l’avant-dernière dans l’évaluation du frottement des engrenages , et la dernière dans la théorie du mouvement des gaz.
22. Fonctions mathématiques implicites. Supposons on second lieu qu’il s’agisse d’une fonction implicite, c'est-à-dire que les deux variables soient liées par une équation que l'on ne puisse pas résoudre par rapport à l’une d’elles.
Pour obtenir les valeurs de y correspondantes à une valeur déterminée de x, on aura à trouver les racines d’une équation en y plus ou moins compliquée, ce qui ne pourra se faire en général que par tâtonnements. Le tracé de la courbe s’exécutera du reste comme dans le cas d'une fonction explicite ; il n’y aura de différence que dans la longueur des calculs.
Mais il arrive assez fréquemment qu’on peut abréger l’opération par l’emploi d’une variable auxiliaire.
Soit, par exemple, l’équation
Si l’on pose y =<x, I étant une variable auxiliaire, il viendra • ^(t’ + l)’— 2x,(t* + l)(I, + l)+4x,e=0,
équation qui est divisible par Effectuant cette division, on tombe sur une équation bicarrée en x, qui donne
et x"==b— V-r—,
\Ip+ i
Vf+i
d’où
„ ^ <^2 et ti"=± —
y Vi’+I
Pour obtenir autant de couples de valeurs de x et de y qu'on le voudra, il suffira donc d'attribuer, dans ces formules, des valeurs à la variable t.
Ainsi, pour f=0, on trouve ri =0. y'=0,
l—l , ri = ±1 , i/ = ± 1 ,
xT=±\, i/=±l;
ri=±
x"=dt
et ainsi de suite.
On reconnaît facilement que cette méthode est applicable toutes les fois que l’équation ne contient que des termes de trois degrés différents, dont les indices sont eu progression arithmétique, comme m + p, tn et m — p; car, en remplaçant y par tx, l'équation devient divisible par x“~r, et il reste une équation de la forme Ari' + lire q- C = 0 , dans laquelle A, B, C sont des fonctions de I, et qui se résuut à la manière des équations du second degré. On eu tire pour x des valeurs de la forme
i=ç(t), et par suite y=lç(i),
et il n’y a plus qu’à donner des valeurs à t pour obtenir des couples de valeurs correspondantes de x et de y.
Cette méthode réussit à plus forte raison quand l’équation ne contient que des termes de deux degrés differents. Si l’on a. par exemple,
Ay’ + B.ry + Cri + Dy-f- Er = 0,
en posant y=lx, on en tirera les expressions rationnelles
X~ At’ + Bl + C y~ AP+-BI+C'
Les élèves pourront appliquer celte méthode aux exemples suivants : y1— tia-y + z^O, yJxJ— 2y»*» + yi — *>=0, y' + ri' — 6y — ’lx=0.
25. Fonctions empiriques. Enfin, il peut arriver que la loi qui lie les deux variables considérées ue puisse être exprimée mathématiquement, et que l’on ait seulement une table contenant une série de valeurs correspondantes de ces variables. Dans ce cas, on pourra tracer la courbe comme il a été dit au n° 10; et si les valeurs contenues dans la labié sonl assez rapprochées, celte courbe
représentera avec une exactitude suffisante la loi inconnue qui lie entre elles les deux variables. Elle la gravera facilement dans la mémoire ; elle permettra d’obtenir immédiatement des couples de valeurs correspondantes intermédiaires à celles de la table, et de résoudre ainsi, à un degré d'approximation presque toujours suffisant pour la pratique, le problème de l'interpolation. SI elle a une analogie plus ou moins grande avec une courbe connue, sa forme pourra suggérer l'idée d’une relation mathématique qui la représente approximativement (c'est ce que l'on nomme une relation empirique). Enfin, si la courbe présente quelque anomalie qui rompe sa continuité, cette circonstance seule indiquera le plus souvent qu’il y a quelque inexactitude dans les nombres de la table, et suffira pour mettre sur la voie des erreurs commises dans les expériences qui les ont fournis.
Ces avantages sont si frappants (et ce ne sont pas les seuls), que tous les expérimentateurs font aujourd'hui usage des courbes pour représenter les résultats de leurs recherches. 11 est donc important de se familiariser avec leur emploi.
Nous allons en donner quelques exemples :
ta ligure 6 (planches) donne la loi de la dépression du mercure due à la capillarité , en fonction du diamètre intérieur des tubes. I.es abscisses sont proportionnelles aux nombres de millimètres contenus dans le diamètre du tube, et les ordonnées aux nombres de dixièmes de millimètre contenus dans la dépression correspondante.
La ligure 7 (pl.) représente la loi qui lie la tension de la vapeur d’eau à sa température. Les abscisses sont proportionnelles aux températures exprimées en degrés, et les ordonnées aux tensions exprimées en atmosphères.
La figure 8 (pl.) montre comment varie la chaleur latente de la vapeur d’eau avec la température. Les abscisses sont les températures; les ordonnées sont les chaleurs latentes.
La figure 9 (pl.) peut remplacer une table hygrométrique. Les abscisses sont proportionnelles aux nombres de degrés de l’hygromètre à cheveu; les ordonnées aux tensions correspondantes de la vapeur contenue dans l’air.
La figure 10 (pl.) exprime comment varie la réfraction astronomique en fonction de la hauteur apparente des astres. Les abscisses sont proportionnelles aux • hauteurs apparentes exprimées en degrés; les ordonnées soijt proportionnelles aux icfractions correspondantes exprimées en minutes
La figure II (pl ) donne la loi de solubilité de différents sels en fonction de la température. Les abscisses sont proportionnelles aux températures; les ordonnées représentent les quantités de chaque sel, en poids, dissoutes dans 100 parties d’eau.
La figure 12 (pl.) représente le résultat d’une série d’expériences sur l’effet utile
d'uae turbine Fontaine-Baron. Les abscisses sont proportionnelles aux nombres de tours de la roue dans une minute, et les ordonnées représentent les valeurs correspondantes du coefficient d'effet utile, c’est-à-dire du rapport entre l’effet utile réel et le travail absolu du moteur.
La figure 13 (pl.) représente la loi de la mortalité en France. Les ordonnées sont proportionnelles aux nombres des survivants sur 100 naissances, et les abscisses représentent l'âge des survivants. Par exemple, poun=0 on a y =100, et pour x=20 on a y — al ; cela signifie qu’en général, sur 100 individus nés le mime jour, 51 seulement atteignent l ige de 20 ans.
24. Après avoir montré la connexité qui existe entre les équations à deux variables et les courbes, nous aurions à aborder le sujet principal de la Géométrie analytique à deux dimensions, qui est l’application du calcul à l’étude des lignes planes. Mais il est indispensable de traiter auparavant quelques questions secondaires qui faciliteront celle étude. Ce sera l’objet du chapl're suivant.
