V. Soit o=o H — ; on trouvera

tangV=~|(o + ") = — ^(ao) + tn).

L’angle V approche d’aulant plus d'être droit, que w est plus grand. La valeur o> = — ï, qui donne p=0, donne aussi tang V=0; c’est-à-dire qu’au pôle la

tangente a la direction du rayon vecteur lui-même.

Remarque- Ceci est général : si l’on a p=0 pour une certaine valeur de <o, par exemple . pour <■>=« , la tangente au pôle est précisément la droite représentée par l’équation u=a. Car cette droite est la limite vers laquelle tend une sécante passant par le pôle, quand on la fait tourner autour de ce point jusqu’à ce que le second point de rencontre vienne se confondre avec le premier; ou ce qui revient au même, jusqu’à ce que le rayon vecteur de ce second point devienne égal à zéro.

334. Prenons encore pour exemple la courbe qui a pour équation p=w, et

qu’on désigne sous le nom de spirale d'Archimède (fig. 134). On trouve

tangY=w;

ainsi la tangente fait avec le rayon vecteur des angles d’autant plus voisins de 90*, que w est plus grand. La courbe rencontre l'axe polaire en des points pour lesquels on a successivement :

:3a; et ainsi de suite.

o>=0, u=ir o»=2it, <•

Plus généralement , une droite passant par le pèle et faisant avec l’axe polaire l'angle a , rencontre la courbe en des points qui répondent à

<■>=«, 6>=a-f-it, a>=« + 2it, u=a-|-3n, et ainsi de suite.

Ces nombres représentent en même temps les valeurs de la tangente trigonométrique des angles que les tangentes aux divers points font avec l’axe polaire.

Remarque. On n’a tracé sur la figure que la partie de la courbe répondant aux valeurs positives de p; si l'on admet des rayons vecteurs négatifs, on aura une seconde courbe symétriquement placée par rapport à l’axe polaire.

33$. Soit enfin l’équation p=a», qui représente (Sg. 135) une courbe à laquelle on donne le nom de spirale logarithmique.

On trouve

,an«V = i^*

quantité constante dans laquelle log/. a indique le logarithme népérien de a. La spirale logarithmique jouit donc de cette propriété, de couper tous ses rayons vecteurs sous un angle constant.

Lorsque a est égal à la base des logarithmes népériens, l'angle constant V est de 45*.

336. Le lecteur pourra s’exercer à construire les courbes dont les équations suivent; et & déterminer leurs axes de symétrie, leurs asymptotes et leurs tan-

gentes.

p=4 — 3cos*w.

cos

r 2 cosu

. /cos2to

9 = aK/- .

r V 2 COS O)

(o + 6,cos,co

p = o ( ûu« H — J— V

p =a<a2—bo}.

§ 3. ÉQUATIONS DES TROIS COI R 1ES DU SECOND DEGRÉ EN COORDONNÉES POLAIRES.

337. Ellipse. Considérons une ellipse (fig. 136) dont AA' est

DES COORDONNÉES POLAIRES

le grand axe, et F l’un des foyers. Prenons ce foyer pour pôle, et la droite FX pour axe polaire. Soit M un point quelconque de la

courbe, menons le rayon vecteur MF et la perpendiculaire MP à l’axe polaire.

On a vu au n“ 185 qu’on a

> MF ou

Fig. 136.

D’ailleurs le triangle P.MF, rectangle en P, donne

ex

PF ou c — æ= MM cos MFP= — pcosw.

En éliminant x entre ces deux relations on aura une équation entre <« et p qui sera l'équation de l’ellipse. On trouve

q’ + c» b‘ o -(- c cos io a -J- c cos <■>’

Divisant les deux termes par a et posant pour abréger

et

il vient

l-fecosü)

équation dans laquelle il faut se rappeler que e est plus petit que I. C’est l’équation polaire de l’ellipse.

357 bis. L'angle polaire <o n’entrant dans l'équation que par son cosinus, le lieu qu’elle représente est symétrique par rapport à l’axe polaire (327). Il suffit donc de construire la portion située au-dessus de cet axe.

Le rayon vecteur p ne peut devenir infini pour aucune valeur de u ; car pour que le dénominateur 1-|- ecoswdevlntnul.il faudrait

qu’on eût cos w = — ce qui est impossible puisque e est moindre

que 1. La courbe n’a donc pas débranchés infinies.

GÉOM. ANAI.. 20

Pour u=o,onap

= a — c; ce qui est en

effet la valeur de FA.

Lorsqu'on fait croître « de zéro à 90°, cos » diminue, par suite

i augmente. Pour 01 = 90° ou a p = p=-, ce qui est en effet la valeur de l’ordonnée du foyer.

Si l’on fait croître t» de 90° à 180°, cos <o devient négatif et augmente en valeur absolue; par suite 1 -f-c cos« diminue, et p continue à augmenter.

Pour w = 180°, on a p :

la valeur de FA'.

■ a-j-c; ce qui est bien

358. En faisant disparaître le dénominateur de l’équation [1], et faisant passer tous les termes dans un membre, on la met sous la forme :

p -(- pe cos ai — p=0.

La dérivée par rapport à p est 1 + e cos tu; la dérivée par rapport à o> est — pe sin w ; on a donc, en appliquant la formule [3] du n* 552,

tang V