III. Considérons enfin l’équation
p— sTTïïü i*ir y
qui donne aussi p—oo , pour u=0. On trouvera
sid’u smtd
valeurqui devient infinie pour w=0. La courbe n’a donc pour asymptote ni l'aie polaire ni une parallèle A cet aie (fig. 131).
531. Il peut arriver que lorsqu’on fait croître o> indéfiniment, P tende vers une valeur finie a. Le cercle qui a pour équation p — a est alors une véritable asymptote de la courbe; et celle-ci s’en approche indéfiniment en tournant autour de sa circonférence sans pouvoir l’atteindre.
Telles sont les courbes représentées par l'équation p = a +
qui ont en môme temps une asymptote rectiligne parallèle à l’axe polaire, à une distance m au-dessus de cet axe. La figure 132 rc-
DES COORDONNÉES POLAIRES. 301
présente une courbe de ce genre dans laquelle a= 10 et m =
La partie ponctuée répond aux rayons vecteurs négatifs.
Si la limite vers laquelle tend le rayon vecteur p à mesure que <o augmente était nulle , c’est-à-dire si l’on avait a = 0, le cercle asymptote se réduirait au pôle, et ce point serait ce que l’on appelle alors un point asymptote.
552. rangeâtes en coordonnées polaires. Pour déterminer la tangente à une courbe dont l'équation est donnée en coordonnées polaires, on cherche l’angle B\\ qu’elle fait avec le rayon vecteur du
point de contact.
SoilM (fig. 133) le point d’une courbe AB, où l’on veut mener une tangente à cette courbe ; soit M' un point infiniment voisin. La direction de la tangente MT au point M est la limite vers laquelle tend la direction de la sécante MM' ou MS lorsque le point M' va en se rapprochant du point M ; l’angle OMT ou V que la tangente fait avec le rayon vecteur OM est donc la limite de l’angle OMS ou U.
Soient «■> et p les coordonnées du point M, celles du point M' seront u>-j-A et p-f k, h et k désignant les accroissements algébriques que subissent les coordonnées quand on passe du point M au point M' ; c’est-à-dire qu’on a h= M OX — MOX et à=OM' — OM.
Cela posé, on a dans le triangle M'OM.
OM' sinOMM'
OM - sinOMM
P + fc sin ( 1 80° — OMS) sin U P sin (OMS — MOM ) sin (U — li) ’
... k sin U — sin (U — h) 2 sin i li cos (U — 1 h) d0U sin (U —à) sin(ü-7.r »
et
sin (LT — k) 2 sin ^ h sin $ h h
cos (U — 4 ,l )
Si l’on passe à la limite, le premier membre se réduit à tang V, puisque U a pour limite V ; le rapport ^ f-' se réduit à 1 , et il
ih
reste
tangV = p . lim ^
Si l’équation de la courbe est donnée sous la forme p =ç (u>), la £
limite du rapport ^ , ou de l’accroissement de la fonction à l’accroissement de la variable , n’est autre chose que la dérivée de p par rapport à o>, c’est-à-dire ?' (<*) ; la limite de j est donc égale à
—TT — r j et on a T («)
tang V = [2].
Si l’équation de la courbe est donnée sous la forme f (?,<») = 0, on a (tôt)
et par suite
tang V =
pTe (p. «■>) /'. (p. “)
333. Exempws. I. Considérons d’abord la courbe qui a pour équation p=4 + 2sin3w,
4 + 2?in3w
on trouvera tangv=— ; ,
ocosUw
Au point A (Hg. 127), qui répond à u = 0, on a tangV = J;
Au point D, qui répond à w=30", on a üngV— x ;
Au point C , qui répond & on a tangV =* .
DES COORDONNÉES POLAIRE* 303
Ou voit qu'aux points B et C la tangente est perpendiculaire au rayon recteur comme l'indique la figure.
II. Soit p = o tang w(fig. 129) ; ou trouvera tang V=-)sinî<0.
Pour u=0 on a tang V=0; ainsi la courbe est tangente en 0 à l'axe polaire.
