ecostü sin w
6 sin b) cosw’
qui se réduit à cos u -j- e = Q, d’où cos t»= — e = — -.
DES COORDONNEES POLAIRES.
Par suite p= j-3^-,=^^ = o. Le point dont il s’agit est donc le sommet B du petit axe (185, II),
539. On peut rapporter la courbe à un axe polaire PX' qui fasse avec FX, et en dessous, un angle «; dans Ge cas il faut dans l’équation [1] changer » en » — ■, ce qui donne
r 1+0 COS (» — ot)
C’est sous cette forme que l’équation de l’orbite des planètes est
le plus souvent employée dans l’astronomie.
540. Hyperbole. Considérons une hyperbole (llg. 137) dont l’axe transverse est AA' et dont un foyer est F. Prenons ce point pour pôle et l’axe FX pour axe polaire. Soit M un point quelconque de la branche de gauche; joignons MF et 'abaissons MP perpendiculaire sur FX.
D’après ce qu’on a vu au n« 232, on peut poser
ex
MF ou p — a,
en appelant x la distance absolue CP.
Mais le triangle PMF donne
PF ou x — c=MFcosMFP = — pcosw.
Éliminant x entre ces deux relations, on obtient
r « + c cos w a + c cos w
Fig. !«.
308 GÊOMÉTIUE ANALYTIQUE A DEUX DIMENSIONS, si l’on pose comme plus haut
—— P et -=(, a r a
on obtient, en divisant les deux termes par a,
" 1 +e cosu
C’est l'équation polaire de la branche d’hyperbole considérée. Elle ne diffère de celle trouvée plus haut pour l’ellipse qu’en ce que c étant ici plus grand que a, le rapport e est plus grand que 1 .
En opérant de môme pour un point M' situé sur l’autre branche, et appelant x la distance CP' du point C au pied P' de l’ordonnée M'P’, on trouvera successivement
ex .
et c-j-a: = pcosco;
d’où, en éliminant x,
a — c cos <d
ou
ecosw — l
c’est l’équation polaire de la branche de droite.
541. Examinons d’abord l’équation [1]. La variable w n’y entrant que par son cosinus, la courbe est symétrique par rapport à l’axe polaire.
Le rayon vecteur devient infini quand on a 1+e cos w = 0,
d’où cos «=— ce qui est possible, puisqu’ici e est plus grand
que 1. Soit a la valeur de <■> qui satisfait à cette condition, et soit en conséquence
cos a — — , d ou siiu=-, et tang* = .
DES COORDONNEES POLAIRES.
Cherchons si la courbe a une asymptote rectiligne parallèle à la droite FZ qui fait avec FX l’angle a. Pour cela, appliquons la méthode exposée au n° 320, nous aurons
S = p sin (a
p sin (« — ai)
1 e cos w '
En mettant pour e sa valeur —
COS a*
et multipliant les deux
termes du second membre par cos a, il vient
, p COS a sin (a — w) p COS a. 2 sin J fa — (o) COS 5 (a — (o) cos a — cos (ii 2 sin J (w — a) sin 4 (“ + «)
ou
p COS B COS 4 (a — (11).
sin 4 (“ + “) ’
si l’on fait w = a, on obtient donc lim. 8 =d—
pcos a sin a ’
ou en mettant pour p, cos a et sin a leurs valeurs,
La courbe a donc une asymptote parallèle à FZ à la distance b de cette droite. L'équation de cette asymptote est (320)
p sin (a — ai) ==-[■&•
En faisant u=0 dans cette équation, on obtient
sin a
pour la distance du pôle F au point où l’asvmptote coupe l’axe polaire, ce qui devrait être puisqu’on sait que cette asymptote passe par le centre, lequel est à une distance c du foyer.
Quant à l’inclinaison de l’asvmptole sur l’axe polaire, ou sur l’axe transverse de l’hyperbole, elle est conforme à ce qu’on a vu au n° 2S3, puisqu’on a
tang a = —
Si l’on fait varier w de 0 à «, le rayon vecteur p croît de c— a jusqu’à l’infini ; et, en ayant égard à la symétrie de la courbe par rapport à l’axe polaire, on obtient toute la branche de gauche.
342. Si Fondait varier » de a à 180®, cos «, toujours négatif,
devient plus grand en valeur absolue que 1 e cos«>, et par
conséquent p, deviennent négatifs. Il faut donc recourir à l’éqoation [2]; car, d’après la manière dont l’équation [1] a été obtenue, on n’est pas en droit, a priori du moins, d'admettre les valeurs négatives qu’elle fournit. ,-,***
L’équation [2] représente, comme l’équation [1], une courbe symétrique par rapport à l’axe polaire. Elle donne p= oo pour
cos w = ^ ; soit a! la valeur correspondante de «, en sorte qu’on ait
cos a = -, d’où sin a* = - et tang
On trouvera
J=£smK-^ e cos w — 1
et, en opérant comme ci-dessus.
lim. i =d=b.
La branche de droite a donc une asymptote qui fait avec l’axe polaire l’angle et à la distance b du foyer F. L’équation de cette asymptote est
p sin (a' — «)s=ft,
équation qui, pour «=0, donne p = ^-,=se.
Cette asymptote passe donc également par le point C, centre de la courbe , et son inclinaison est d’ailleurs conforme à ce qu’on sait de l’hyperbole, puisqu’on a
tang a' = -{--•
DES COORDONNÉES POLAIRES
Pour»=0, l’équation [2] donne p = — ?— : = =c-f~a, ce
qui est bien la distance FA'.
Quand on fait croître u de 0 jusqu’à on obtient pour p des valeurs positives croissantes, car cos«> diminue; et, en ayant égard à la symétrie de la courbe, on obtient toute la branche de droite.
Si l’on donne à u des valeurs plus grandes que a', cos to continuant à diminuer, e cos <•> — 1 et par suite p deviennent négatifs.
On n’est point en droit d’admettre, o priori, ces valeurs négatives du rayon vecteur.
Mais il est très-remarquable que si on les admet, une seule des deux équations [1] ou [2] donne toute la courbe. En effet : pour plus de clarté accentuons w et p dans la seconde, et écrivons
l+ecosto
avec p :
e cosw' — 1
Si l’on établit la relation <o— w'=180*, d’où cos w'= — cos «, on trouve p'=— p. C’est-à-dire que si l’on considère les deux directions opposées sur une droite passant par le foyer, et que l’on attribue l’une d’elles au rayon vecteur donné par l’équation [1] et l’autre au rayon vecteur donné par l’équation [2] , on trouvera toujours pour ces deux rayons vecteurs des valeurs égales et de signe contraire.
En admettant donc pour p des valeurs négatives, une seule équa- * tion donnera les deux branches de courbe, puisque les valeurs négatives fournies par l’une de ces équations correspondent aux mêmes points que les valeurs positives fournies par l’autre.
343. L’inclinaison de la tangente sur le rayon vecteur est déterminée par l’équation
tang V=
