DE L*HÉLICE

est égal au chemin que le point m parcourt sur la droite

AB. On établira l'égalité -- = — ,

h V comme on a établi l'égalité —- = — .

On a , par conséquent , — =-— .

A lie

Tangente à l'hélice. — Considérons (fig. 16) un déplacement inGninient petit de la droite ab, qui prend la position A'B^ Soit m la nouvelle position du point M mobile sur la droite et décrivant Tbélice; M', la nouvelle position qu'il prendrait s'il restait flxe sur la droite. Les arcs élémentaires Mm et mm' peuvent être considérés comme rectititignes, et le triangle titM^M, comme rectangle au point M'. La tangente mt à l'hélice, au point M, n'est autre chose que l'élément Mm prolongé; et l'angle que cette tangente mt forme avec Taxe (1) , est égal à l'angle que forme l'élément Mm avec la génératrice ma , ou égal à l'angle MmM^ du triangle élémentaire. Mais, dans ce triangle, les côtés m 'm et mm' représentent les chemins linéaires parcourus simultanément par le point m sur la droite ab, et par la droite ab elle-même. Le rapport de ces chemins est donc égal au rapport des vitesses des deux mouvements ; c'est-à-dire que l'on a

mm' "" ar '

* (1) On appelle angle de deux droites qui ne se rencontrent pas, Tangle de deux droites, respectivement parallèles aux premières, menées par un point quelconque de Tespace.

et, par suite (n^ 26) ,

M'm mm'

h 2nr

Il en résulte que , si Ton construit un triangle rectangle EFG (fig. 15) , dont les deux côtés ef et fg de

Fig. 15

Tangle droit soient égaux respectivement au pas h de rhélice et à la longueur 2nr de la circonférence d'une section droite du cylindre , ce triangle est semblable au triangle élémentaire mM 'M ; et que , par conséquent, Tangle en m de ce dernier triangle est égal à Tangle en e du premier.

Gela étant vrai , quelle que soit la position du point m , on voit que la tangente en un point quelconque de Thélice forme un angle constant avec Taxe du cylindre sur lequel est tracée la courbe; et que cet angle peut s'obtenir par une construction géométrique fort simple , quand on connaît le pas de Thélice et le rayon du cylindre sur lequel elle est tracée.

Cette tangente mt est, de plus, située dans le plan tangent au cylindre suivant la droite ab, c'est-à-dire, dans le plan mené par la droite ab, perpendiculairement au

DE l'hélice. 29

plan GABD. £n effet, c étant le centre de l'arc aa' que décrit le point A , et cet arc élémentaire pouvant être considéré comme rectiligne , on a , au point a , un angle droit CAA', qui mesure l'angle dièdre du plan cabd avec le plan abb'a'. Ces deux plans sont donc perpendiculaires entre eux. Or , le dernier renferme bien la tangente bit à rhélice , puisqu'il renferme deux de ses points m et m.

«9. De ce qui précède , il résulte que , pour tous les points, M, N, .-. , d'une même hélice, situés sur une même génératrice ab du cylindre, les tangentes mt, nu , ... sont parallèles; puisqu'elles sont situées dans un même plan , et forment , avec la génératrice, des angles correspondants qui sont égaux entre eux.

Génération de l'hélice par un point dont la vitesse est variable^ — Supposons qu'à un certain instant , les vitesses v et a viennent à varier , sans que leur

rapport cesse d'être égal à -r— • ; le rapport des chemins

élémentaires simultanés restera le même ; en sorte qu'au même chemin élémentaire mm' , correspondra encore le même chemin élémentaire M 'm, et, par suite, le même élément Mm de trajectoire. On peut donc considérer l'hélice comme engendrée par un point M qui se meut sur une droite ab , pendant que cette droite ab tourne autour d'un axe fixe CD qui lui est parallèle, les vitesses des deux mouvements variant simultanément , sans que le rapport

de ces vitesses cesse d'être égal à — .

La valeiïr constante de ce rapport est connue quand on connaît h. Ainsi, pour qu'une hélice soit déterminée, il faut

qac 1*011 donne son pas et le rayon du cylindre auquel elle appartient.

Si. Hélices dextrorsum et sinislrorsum, — Toutefois ,

il est encore une autre hélice, de même rayon et de

même pas que la première , et avec laquelle il importe de

ne pas la confondre. Pour le concevoir , supposons que ,

la première étant construite, et le point m y occupant une

certaine position , d'ailleurs quelconque , on communique

à ce point les deux vitesses simultanées t; et a qu'il avait

en engendrant l'hélice, et dont le rapport conserve la

A valeur constante —— . Le point m va parcourir l'hélice

dans un certain sens. Ce sens changera, si celui des deux vitesses t; et a vient à changer , mais le point m ne quittera pas l'hélice.

Il n'en sera plus de même si la roution vient à changer de sens, sans que la translation soit altérée. Dans ce cas , le point M décrira sur le même cylindre une autre hélice , de même pas que la première , mais symétrique de la première et ne pouvant coïncider avec elle.

On distingue les deux hélices en disant que l'une est dextrorsum et l'autre sinislrorsum.

On voit donc qu'il faut ^ pour déterminer une hélice , faire connaître son pas , le rayon du cylindre , et les sens simultanés de la rotation et de la translation.

S*. Mouvement d'une hélice contre une autre hélice fixe. — Considérons (fîg. 16) une hélice de pas A, tracée sur un cylindre de rayon r;et soit Indiqué, au moyen de la flèche f^ le sens de la rotation du point générateur, qui répond

DE L'HÉUGE.

à a ne iraDsIalion de sens dc GooceTons une seconde hélice coïncidant avec la première ; mais, supposons-la mobile ;

et donnons 'lui un double mouvement , Tun, de rotation autour de Taxe CD , dans le sens de la flèche /*, l'autre , de translation parallèle à cet axe , dans le sens dc Si la vitesse linéaire v du second est à la vitesse angulaire a du premier dans le rapport constant de A à 27r , chacun des points, M, Mp Mi,...,deVhé' lice mobile se déplacera en restant sur l'hélice fixe ; c'est-à-dire que la première hélice glissera contre la seconde , sans cesser de se confondre avec elle ; et , si les vitesses viennent k changer de sens , l'hélice mobile glissera contre l'autre en sens contraire.

u Mouvements d'une hélice et d'un point qui glissent l'un contre l'autre. — Soit ( fig. 17 ) M, , Mj . ... des positions successives du point générateur M de l'hélice; AjBi, AjBj, ... , les positions correspondantes de la droite AB ; o , le centre de la section circulaire que détermine , dans le cylindre, un plan mené par le point M perpendiculairement à Taxe ; p^, Pj, ... , les points de rencontre

de cette section avec les droites A|B| , AjB^ Il résulte

du mode même de génération de Thélice, qu'aux chemins

angulaires MOPf , MOP^, ... , parcourus par la droite ab tournant autour de gd dans le sens de la flèche f^ corres-

pondent les chemins linéaires PjMj, P2M2. ... t parcourus par le point m sur la droite ab , dans le sens dg. Si donc on suppose niaintenant au point m un simple mouvement de rotation , de vitesse a, autour de Taxe gd, dans le sens de la flèche /; si , en outre , on suppose que Thélice se transporte parallèlement à Taxe, avec la vitesse v^ dans le sens GD ; si , enfin , on a toujours

les deux points m et M^ arriveront simultanément en P^ ; les deux points m et Mg. simultanément en Pj, etc. ; c'est-àdire que le point M , dans son mouvement de rotation , et