TOUJOURS EN CONTACT

49. Le déplacement d'uu corps c dans l'espace n'est pas un phénomène que perçoivent directement nos organes. Ceux-ci , en effet , saisissent seulement les rapports de position du corps c avec les autres corps qui nous entourent et que nous jugeons immobiles ; et ils nous avertissent, par là, des changements qui surviennent dans ces rapports. Si les corps qui nous entourent sont réellement immobiles , nos sens nous font connaître alors le déplacement du corps c dans l'espace, ou son mouvement absolu; mais, si cette immobilité n'est qu'apparente , si ces corps sont animés d'un mouvement commun auquel nous participons nous-mêmes , nos sens, dans ce cas, ne nous font plus connaître que le mouvement relatif du corps c.

Cette remarque faite, nous nous bornerons à étudier les mouvements relatifs des figures situées dans un plan.

50. Définition du mouvement relatif d'un point mobile dam un plan. —Soit s (fig. 23) une figure plane, mobile

dans son plan ; a et b deux Fig* 23. de ses points ; M un autre point mobile dans le même pian et indépendant de la 6gure s. Supposons que Ton détermine , à chaque instant , les distances ma et MB.

Supposons ensuite la figure s immobile ; et modifions le mouvement du point m dans son plan , de manière que les distances ma et MB passent , avec le temps , par lés mêmes valeurs que dans le cas précédent. Le mouvement du point M , alors , représentera ce que , dans le premier cas, on appelle le mouvement du point M , relatif à la figure s.

On est ainsi conduit à distinguer, pour le point m, deux sortes de mouvements : 1°. le mouvement propre , en vertu duquel il se déplace dans le plan , ou son mouvement absolu ; 2*". le mouvement en vertu duquel il change de position par rapport à la figure s , ou son mouvement relatif.

Ou peut faire une infinité d*hypothèses sur la nature des mouvements du point m et de la figure s , et concevoir que, dans chacune d'elles, les distances ma et MB varient toujours de la même manière avec le temps. Le mouvement relatif du point m est alors le même dans tous les cas , tandis que son mouvement absolu varie à chaque hypothèse faite sur le mouvement absolu de s.

MOUVEMENT RELATIF

Fig. 2û

SI . Mouvement relatif d'une figure plane dans son plan. — Soient s et x ( fig. 2Zi ) deux figures planes ,

mobiles dans le même plan ; A et B deux points de la première; M et n deux points de la seconde. Supposons qu'on ait déterminé les mouvements des points M et N relativement à la figure s.

Supposons ensuite que, s restant fixe , on modifie le mouvement de la figure t , de manière à conserver à ses deux points M et n les mêmes mouvements relatifs. Le mouvement de la figure T , dans ce cas , sera ce que , dans le cas précédent , on appelle le motwement de la figure T , relatif à la figure s.

On distingue alors , pour la figure x , le mouvement absolu ^ en vertu duquel elle se déplace dans son plan , et le mouvement relatif en vertu duquel elle change de position par rapport à la figure s.

On peut faire une infinité d'hypothèses sur la nature des mouvements de s et de x , et , dans chacune de ces hypothèses, concevoir que les mouvements relati£i des points M et N restent les mêmes; le mouvement relatif de la figure T reste alors aussi le même.

Le mouvement relatif de la figure x étant indépendant de la nature du mouvement absolu de la figure s , on conçoit que , dans Tétude des propriétés du mouvement relatif de x, il puisse y avoir souvent avantage à considérer s comme fixe : c'est ce qu'il nous arrivera

de foire dans la suite. D'ailleurs , les seuls mouvements relatifs qui nous occuperont, sont ceux de deux figures se touchant par leurs contours, et que nous pourrons, pour cela, réduire à de simples arcs de courbe. Ces arcs seront, en réalité , les sections droites ou les profils de surfaces , cylindriques parallèles , assujetties à se mouvoir en restant toujours en contact.

B9. Roulement. — On dit que deux lignes ab et gd ( ûg. 25 ) , tangentes Tune à l'autre , roulent Tune contre

Tautre, lorsque, l'une d'elles étant mobile ou toutes deux, le point I de contact se déplace dans le même sens sur les deux lignes , et y parcourt des chemins égaux.

Ainsi , que sur les deux lignes ab et cd on prenne , à partir du point i et dans le même sens, des arcs il , 12 , 23, 3/i, .... égaux entre eux et aussi petits que l'on voudra ; il résulte de la définition même du roulement , que le contact se déplacera sur chacune des courbes, et que celles-ci se toucheront successivement par les points

53. On peut réaliser, de la manière suivante, le roulement de l'arc cd contre l'arc ab supposé fixe :

On divise l'arc ab (fig. 26) en arcs égaux, infiniment petits, 01 , 12 , 23 , 36 , ... , qui peuvent être considérés

MOUVEMEÎST RELATIF.

comme rectilignes. On divise de même l'arc CD en éléments O'I^ l'2' , 2'3' ,3'4^ ... égaux entre eux et auxprécé-

Fig. 26.

Fig. 28.

dent^ Puis, ayant placé Tare CD de manière que les deux éléments 0^1^ et 01 coïncident ( figure 27) (1), on fait tourner l'arc CD , 1^ autour du point 1 jusqu'à ce que l'élément 1 '2' s'applique sur l'élément 12 (fig.

28); 2^ autour du point 2 jusqu'à ce que l'élément 2'3' s'applique sur l'élément 23 ( fig. 29) ; 3°. autour du point 3 jusqu'à ce que l'élément 3'4' s'applique sur l'élément 34 (fig. 30); etc.

C'est-à-dire que l'on

réalise le roulement de l'arc CD contre l'arc ab , au moyen d'une suite de rotations infiniment petites, effectuées successivement autour des points- 1 , 2 , 3 , .... , par lesquels se touchent successivement les deux arcs.

Fig. 29.

(4) La coïncidence ne peut, sur Ja figure , avoir lieu réellement , puisque les arcs n'y sont pas infiniment petits.

Ces points 1,2,3,... sont ainsi, pour Tare CD, des centres instantanés de rotation ; d*où il résulte que , pen-dant le roulement decD contre ab (fig. 31), tout pointu

Fig. 31.

appartenant à CD ou lié d'une manière invariable avec CD , peut être considéré , pendant un temps infiniment court , comme tournant autour du point i de contact de CD avec ab , ou comme décrivant un chemin élémentaire mm' perpendiculaire à la droite mi.

54. Glissement. — On dit que les lignes ab et CD (fig. ^2).glissent Tune contre l'autre, lorsque, une seule

Fig, 32.

étant mobile ou toutes deux , le point i de contact occupe toujours la même position sur Tune d'elles , tandis qu'il se meut sur l'autre ; et l'on prend pour vitesse du glissement, la vitesse même avec laquelle se meut le point de contact sur celle des deux qu'il parcourt et que l'on considère comme fixe.

MOUVEMENT RELATIF

Roulement et glissement. — Dans tout autre cas du mouvement relatif des deux lignes Tune contre l'autre, on dit qu'il y a roulement et glissement.

5e. Arc et vitesse de glissement. — • Les deux lignes AB et CD (fig. 33) se touchant d'abord par les deux points I et I' , supposons^ qu'après un certain temps elles se touchent par les points m et m' (fig. 3/i ) , de telle sorte que

Fig. 33.

Fig, 36.

le contact ait parcouru l'arc IM sur la ligne ab , et l'arc i^m', en sens contraire, sur la ligne CD ; la somme, IM -f- i'm% de ces deux arcs prend le nom d'arc de glissement; et, s'ils ont été parcourus pendant, un temps t infiniment courte le rapport

JM -j- i'm'

constitue ce qu'on appelle la vitesse de glissement des deux lignes ab et CD l'une contre l'autre.

Si le point de contact a parcouru , sur les deux lignes AB et CD , et dans le même sens , des chemins inégaux

IM et i'm' (fig. 35 et 36), Varc de glissement consiste

Fig. 35.

Fig. 36.

dans la différence, iM — i'm', de ces chemins; et la vitesse

de glissement est égale au rapport

IM — i'm'

où t représente le temps infiniment court pendant lequel wn été parcourus simultanément les deux arcs im et i'm^

57. On voit que la vitesse de glissement est nulle si les deux chemins IM et i'm^ parcourus dan» le même sens, sont égaux ; c'est en effet le cas où il y a simple roulement.

58. Application» — Deux cercles de rayons r et r', tangents extérieurement Tun à Tautre au point i (fig. 37), peuvent tourner respectivement autour de leurs centres <: et G^ le premier avec une vitesse angulaire a ^ dans le sens de la flèche f; le second avec une vitesse angulaire a' ,

MOUVEMENT RELATIF

dans le sei>s de la flèche f , c'est-à-dire en sens contraire

Fig. 37.

de l'autre cercle. Au bout du temps t , le point l de la circonférence G arrive en m , et le point i de la circonférence C, en M^ Le point de contact a ainsi parcouru simultanément l'arc MI sur la première circonférence , et l'arc M^i sur la seconde ; ce que l'on peut exprimer encore , en disant que les deux arcs Ml et m'i ont passé simultanément au point i de contact. L'arc de glissement, au bout du temps t, est alors égal à mi — M^i.

Si le temps t est inGnimcnt court , le chemin angulaire parcouru par la circonférence c est égal à a.t , et l'arc Ml à r.a,t; le chemin angulaire parcouru par la circonférence c' est égal à a'.t, et l'arc m^ à t^m'a. La différence de ces deux arcs , ou le glissement élémentaire , est donc égaie \

et la vitesse de glissement , égale à

La condition nécessaire et suffisante pour que cette vitesse soit nulle à chaque instant , ou pour que les deux circonférences roulent Tune contre l'autre , est donc exprimée par l'égalité

ra = r'a\

Celte égalité peut s'écrire

et on l'énonce en disant que le rapport des vitesses angu* laires est constamment inverse de celui des rayons.

Il en serait de même si les deux circonférences se touchaient intérieurement, le sens de Tune des rotations devant être toutefois changé , ce qui fait que les deux rotations sont de même sens.

§ 8. APPLICATION DE LA THÉORIE DU ROULEMENT A l'étude de QUELQUES COURBES.