I. Cyeloide

ftO. Un cercle de centre c (fig. 38) et d'un rayon cm égal à r, roule contre une droite XY située dans son plan. Un point m de sa circonférence participe h ce mouvement et occupe successivement différentes positions dans le

roulement; cycloïde.

plan. Si Ton suppose que ce point laisse partout derrière

Fig. S8.

lui la trace de son passage , la ligne qu'il engendre , ou le lieu géométrique du point H, porte le nom de cycloide»

OO. Lorsque le point i de contact de la droite et du cercle , parti de la position que représente la figure , va de Y en X , l'angle ICM diminue; le point m se rapproche de la droite XY ; et il la rencontre au point a , lorsque le centre c a pris une position c^ pour laquelle Tangle iCM est nul , les deux côtés ci et cm se confondant avec Gqâ.

Si le point I, au contraire, va de x en Y, Tangle iCM augmente ; le point m s'écarte de XY ; et il atteint son écartemcnt maximum, 1r, lorsque Tangle ICM devient égal à deux droits , le centre G ayant pris une position c^ pour laquelle le rayon cm vient se placer en c^M^ , sur le prolongement de c^i^.

Il résulte de la définition même du roulement , que , pour toutes les positions du cercle générateur, Tare Ml est égal à la droite âi : parce que mi et âi sont des chemins parcourus simultanément , sur la circonférence et sur xY , par le point i de contact. On en conclut , comme cas particulier, que Ài^ est égal en longueur à nr, ou à la demicirconférence rectifiée.

su NOTIONS RELATIVES AU MOUVEMENT.

Le centre G du cercle ayant pris la position Cj, si le cercle continue à rouler dans le même sens , le point m se rapproche de la droite XY, et il la rencontre en un certain point B pour lequel ab est égal à 2irr, ou à la circonférence rectifiée. Alors le centre c se trouve en c^, sur une même perpendiculaire à xy avec le point B.

61. On conçoit que , si le cercle continue à rouler dans le même sens , le point xM engendrera un second arc de courbe partant du point B et égal à l'arc amMjB , puis un troisième , puis un quatrième , et ainsi de suite indéfinir ment. On conçoit, de même, que, si l'on fait rouler le cercle en sens contraire, de manière à ramener le point m en a et à dépasser cette position , on obtiendra encore , au-delà de ce point A, une autre série d'arcs égaux à l'arc bm^ma: en sorte qu'il suffit eu réalité d'étudier les propriétés du seul arc amM|B.

e^. Si Ton considère comme position initiale du cercle générateur, celle pour laquelle le centre c se trouve en Cj, on aperçoit que les deux arcs de cycloïde m^a et m^b peuvent être engendrés en faisant rouler le cercle contre la droite XY, dans un sens, puis dans l'autre; et , ces deux modes de déplacement du cercle étant symétriques par rapporta la droite m^i^ , on en peut conclure que la courbe elle-même est symétrique par rapport à cette droite , ou que les deux arcs m,a et M{B s'appliquent exactement l'un sur l'autre quand on replie la figure le long de Mil}.

Cette droite M^l^est dite Vaxede la cycloïde; le point il^^ en est le sommet ; a , Vorigine ; et ab , la base.

roulement; cïcloïde.

o3. Poar uu déplacement inûaiment petit du cercle générateur roulant contre xy ( ûg. 39} , on a vu (n^ 53)

que le chemin élémentaire mm' du poini M est perpendiculaire à la droiie menée de ce point au centre instantané 1. 11 en résulte que la droite mi est normale à la cycloïde au point M. Mais la droite md, menée du point m à l'extrémité D du diamètre qui passe au point i , est perpendiculaire à Ml , puisque Tangle ïmd est inscrit dans une demi-circonférence. Celle droite md n'est donc autre que l'élément .MM' prolongé , ou la tangente à la cycloïde au point M. On déduit de là un procédé géométrique pour obtenir la tangente en un point donné de la cycloïde.

e4. L'angle idm , que forme la tangente avec une perpendiculaire à la base, est la moitié de l'angle ICM. Or, cet angle ICM est nul quand le point m est en a , et il est égal à deux droits quand le point m est en M,. L'angle de la tangente avec une perpendiculaire à la base est donc nul au point a , et droit au point M^ ; c'est-à-dire qu'à l'origine A , la tangente ae est perpendiculaire à la base ,

et qu'au sommet M| , cette tangente M|F est parallèle à la base.