Problème, — Un cercle de centre c (fig. ^2) et

Fig; U2,

dont PQ est un diamètre , roule contre un autre cercle de centre o. Du point i de contact des deux cercles on abaisse , à chaque instant, sur le diamètre PQ , la perpendiculaire IM. On demande de déterminer le lieu géométrique du pied M de celte perpendiculaire.

Soit considérée comme position initiale du cercle c la

ftOULEMENT; ÉPIGYCLOÏDE. 59

position dans laquelle Tuue des extrémités, p, du diamètre PQ se trouve sur le cercle o, au point a , qui fait d'ailleurs partie du lieu géométrique cherché. A chaque instant, Ton a

arc IP = arc ïa.

Soit construit le cercle des trois points i, c, M, lequel a Ci pour diamètre. L'angle ICP, comme inscrit dan» ce cercle , a pour mesure

arc IM

diamètre ic

D'une autre part, ce même angle iCP, ayant son sommet au centre du cercle c, a pour mesure

arc ip rayon ic

Si Ton compare ces deux expressions de la mesure du même angle , on en conclut

arc IM = arc ip ,

et , par conséquent ,

arc IM = arc lA.

On peut donc encore définir la ligne am , en disant que c'est le lieu géométrique du point m d'un cercle de diamètre ic, qui roule contre le cercle o , ce point M se trouvant en a à l'époque initiale. Or, on sait que ce lieu géométrique est , par définition , une épicycloïde ; et l'on voit que cette épicycloïde , d'origine A , a pour diamètre du cercle générateur le rayon du cercle mobile donné.

m. Développante de eerele.

90. On donne le nom de développante de cercle au lieu géométrique du point m d'une droite ef (fig. 43)

qui roule contre un cercle o.

91. Le point i de contact de la droite et du cercle, parcourant , sur la droite et sur le cercle , des chemins égaux et de même sens , la longueur Ml augmente ou dimipue , selon que lé point i se meut dans le sens de la flèche fou dans un sens contraire; et, par suite, le point M s'éloigne du centre o du cercle, ou s*en rapproche. Si le point de contact tourne indéfiniment sur le cercle , dans le sens de la flèche /*, le point m tourne lui-même indéfiniment autour du centre o et s'en éloigne indéfiniment. Si le contact se déplace en sens contraire , la longueur mi

RODLKMENT; DÉVELOPPANTE DE CEBCLE. fil

diminue. Elle devient nulle pour une certaine position e^Fq de la droite ef , dans laquelle le point m se trouve en A, sur le cercle. On a ainsi une branche indéfinie de courbe , abc , partant du point A.

Si Ton considère EoFq comme la position initiale de la droite mobile ef , on pourra faire rouler cette droite ef contre le cercle , soit dans le sens fy soit dans le sens contraire : ce qui fournira , pour lieu géométrique du point m , soit la branche abc déjà obtenue , soit une autre branche agh symétrique de la première par rapport à la droite OA. L'ensemble de ces deux branches indéfinies constitue la développante du cercle.

9%. Quelle que soit la position de la tangente ef , le point I est le centre instantané de la rotation , et, par conséquent, la droite mi est normale à la développante, au point M. Ainsi , les tangentes du cercle sont des normales de la développante.

93. On en conclut, en particulier, que la développante rencontre perpendiculairement le cercle au point a.

94. Lorsque la droite mobile passe de la position e^f^ à la position ef, le contact parcourt simultanément les chemins Mi et ai , sur la droite et sur le cercle. Il en résulte que Tare ai est égal en longueur è la normale Ml.

95. Pour une antre position e^f' de la tangente , on a de même Tare ai^ égal è la normale WV. On en conclut que l'arc ii', différence des arcs ai et al', est égal à la différence des normales mi et M^i', menées à la développante par les deux extrémités de cet arc ii^

!¥• De la eyeloide et de la développante de eerele, eoBsidérées eomme des eas partienliers de I*épi« eyeloïde.

7 S. Le point (fig; &4) étant le centre de la circon-

Fig. kU,

férence fixe , et OA son rayon ; c étant le centre de la circonférence mobile, et m le point générateur qui part de la position A pour décrire l'épicycloïde an : supposons que le rayon oa croisse indéfiniment , la tangente ah restant fixe et le centre o s'éloignant indéfiniment. La courbure de la circonférence o ira toujours en diminuant ; et , de