S 9: DU MOUVEMENT AUTOUR D'UN POINT , ET DU MOUVEMENT SUR UNE SPHÈRE

79. On dit qu'un corps se meut en tournant autour d'un point fixe o , lorsque , pendant le mouvement , tous les points du corps restent toujours situés à la même distance du point fixe.

SO. Concevons qu'une sphère de centre o et d'un rayon choisi arbitrairement , détermine dans ce corps une section

MOUVEMENT AUTOUR D'UN POINT

GH (fîg. 46). En même temps que le corps tourne autour du point O , la figure GH se déplace sur la sphère ; et le

Fig, /i6.

mouvement de la figure gh sur la sphère fait connaître le mouvement du corps autour du point o. Ainsi, Tétude du mouvement d'un corps autour d'un point fixe se ramène à l'étude du mouvement d'une figure sphérique sur sa propre sphère.

91. Les corps dont nous étudierons le mouvement autour d'un point fixeo, seront généralement limités par des surfaces coniques (1) , ayant leur sommet en ce point; et

(4) On donne le nom de cône ou de surface conique à la surface s (6g. g) engendrée par une droite oa qui se meut en passant constamment par un point fixe o. Ce point est dit le sommet du cône , et les positions successives delà droite oa constituent \e$ génératrices du cône. Un cône est déterminé quand on donne son sommet o et la ligne Goarbe gh suivant laquelle il conpe une sphère dont le centre coïncide avec ce sommet. Nous donnerons à cette ligne le nom de

HOTIOHS BELATITES AU HODTEHEHT.

la sectioD l, faite par la sphère dans l'une de ces surfaces, délerminera cumplètement la surface, puisque celle-ci serait engendrée par une droite issue du poioi donné o , et glissant contre la ligne L. Si cette section l est une circonférence de cercle , la surface conique est celle d'un c&ne circulaire droit.

st. La position d'une figure L sur une sphère est délerminée lorsqu'on donne la portion de deux de ses points A et Bï en sorte qu'on peut, par la pensée, réduire la figure â l'arc de grand cercle ab qui joint ces deux points,

diratrice tphiriqtit, parce qu'élant située ïur la sphère, elle dirige le mouTeiDeal de la droite o*, pendant la g^iéralion du eàne -, et nous

si la directrice eh di I mofen de quatre d<

cercle, elle peut, i

un mfme plan, servir à retrouver le cenirc de la sphire , el p:

coiMiquent le sommet o, sans qu'il «oit nécessaire àe. le dona

eiplidlemenl.

On dil qu'un plan est tangent au cûne le long de la génératri

01, lorsqu'il passe par la droite oi el par une antre génératrice oi

infiDiment voisine de la première.

MOUVEMENT AUTOUR D*UN POINT

et étudier le mouvement de cette ligne , pour connaître celui de la figure i.

8S. Si Ton considère une même figure dans deux positions distinctes , on peut toujours l'amener , de la première position AB (fig. 47) , à la seconde a'b', au moyen d'une rotation effectuée autour d'un certain point de la sphère , pris pour pôle.

Que l'on mène, en effet, les arcs de grand cercle aa' et BB', et que , par les milieux c et d de ces arcs, on élève perpendiculairement les arcs de grand cercle cp et dp se rencontrant au point p , les deux triangles sphériques pab et pa'b' , formés en joignant le point p aux points a, b,

Si deux cônes ont même sommet o (fig. A), et si leurs directrices

GH et KL , situées sur la même sphère de centre o , se touchent en un point M, la droite om appartient à la fois aux deux cônes, qui ont même plan tangent le long de cette génératrice, et sont dits tangents Tun à Tautre suivant cette génératrice.

a' et b' , soQt égaux, comme ayant leurs côtés égaux deux à deux et disposés de la même manière; en sorte que, si

Ton fait tourner convenablement le premier autour du point p, pris pour pôle, on peut rappliquer sur le second, ce qui amène ab sur a'b'.

Cette rotation effectuée autour du point p, pris pour pôle, équivaut à une rotation effectuée autour du diamètre PQ , passant au point p , et qui serait pris pour axe.

94. On pourrait, au moyen du théorème que Ton vient de démontrer, établir, pour les pôles instantanés ou pour es axes instantanés de. rotation , des propriétés analogues à celles qui ont été établies précédemment, pour les centres instantanés de rotation , dans le cas du mouvement d'une figure plane dans son. plan.

;. Lorsque deux lignes, situées sur une même sphère , se meuvent en restant toujours en contact , il peut y avoir

MOUVEMENT AUTOUR D'UN POINT

roulement et glissement de ces deux lignes Tune contre Tautre ; il peut y avoir aussi simple roulement. Ce dernier cas se présente quand le point de contact parcourt des chemins égaux sur les deux lignes.

9e. Supposons que les deux lignes qui roulent Tune contre l'autre, consistent dans deux circonférences de centres c et C (fig. 48), et de rayons r et r'. Si la circonférence c

Fig. US.

est fixe, tout point de la circonférence mobile c^ décrit sur la sphère une courbe qui prend le nomd'épicycloïde sphérique •

S9r. Les centres G et c^ (fig. /iS) étant supposés fixes, concevons que les deux circonférences tournent respectivement autour des droites oc et oc', en roulant Tune contre Tautre. Si Ton prend sur ces deux circonférences , à partir du point i de contact, et en sens contraire de celui des rotations , les arcs IM et im' égaux entre eux et infiniment petits , les points M et m^ ainsi obtenus viennent simultanément passer au point i, au bout d'un temps infiniment court. Les angles ICM et ic^M^ mesurent les rotations

infiniment petites effectuées simultanément autour des axes oc et oc^ ; et, si a et a' représentent les vitesses angulaires de ces rotations , on a ( n°. 13 ) .

a IGM

a' ic^M'

Mais

IM , , IM'

ICM = — ; ic'm' =

Il en résulte, vu Tégalité des arcs IM et IM^

c'est-à-dire que les vitesses de rotation des deux circonférences sont inversement proportionnelles à leurs rayons.

%^. Cette condition ne serait pas remplie, s'il y avait glissement des deux circonférences Tune contre l'autre. Elle est donc, non-seulement nécessaire, mais encore suffisante.

99. On peut considérer les cercles c et c' comme les bases de deux cônes circulaires droits, ayant pour sommet commun le point o, et pour hauteurs les droites OG et oc^ Ces deux cônes se touchent suivant la génératrice oi ; et l'on dit qu'ils routent l'un contre l'autre en même temps que les circonférences elles-mêmes, c'est-à-dire, toutes les fois que les vitesses de rotation , constantes ou variables, satisfont à la condition