OE VITESSE

l«3. Soit f fig. 57) Cj, Ca, C3, C4, Cg, Cfi les centres de poulies silaécs dans le même plan. Les points c^ , C3 ,

Fig 57.

€5 sont fixes; les points Cj, C4, Cg sont reliés entre eux d'une manière invariable , et ne peuvent se mouvoir que parallèlement à une direction donnée ab , avec une vitesse commune. Un cordon ZQfiflfi^ii^,.,^^f^ libre par son extrémité E , ^wq par son extrémité F , passe successivement sur la gorge de chacune des poulies Cj, G^* -** ^6* On suppose que, sans changer la direction du premier

POULIES ET CORDONS

brin, on tire son extrémité e, de manière que, le cordon restant toujours et partout tendu , le système mobile ^'^A^'Q glisse parallèlement à ab, et se rapproche du système fixe G1C3C5. On veut comparer la vitesse du point e à la vitesse du système mobile.

194. On sait que les vitesses sont entre elles comme les chemins élémentaires parcourus dans le même temps. Il suffit donc de comparer ces chemins élémentaires.

Or, nous allons démontrer que, si mm' représente le chemin élémentaire parcouru par le système mobile , le chemin élémentaire parcouru par le point e est égal à la somme des projections de mm' sur les différents brins qui Tont d*un système à Tautre (1).

[i) Soit EF ( fig. j) une droite indéfinie; ab une droite finie, située

dans un même plan avec bf.

Abaissons, des points a et b,

sur EF , les per|)endiculaires

aa' et bb', qui rencontrent

EF aux points a' et b'. Les

points a' et b' sont dits les

projections sur bf des points

a el b; et la droite a'b' est dite la projection de la droite ab sur bf.

La même définition s'étend à la projection a'b' d'une ligne ab

droite ou courbe, située d'une manière quelconque dans Tespace.

1*', théorème, — jp,*^^ fç^ J^ ^^ Deux droites A B el CD,

égales et parallèles (fig. k)^ ont, sur une même droite EF, leurs projections , a' b' el c'i)', égales entre elles.

Fig. j.

94 TRANSFORMATIONS ENTRE MOUV. RECTIL.

I9ft. Soit, en efTet, pour les poulies "de rang impair. Dp D3, Dg les extrémités des rayons menés parallèlement à AB el dans ie sens ab ; soit ensuite , pour les poulies de rang pair , d^ , D4 , Dg les extrémités des rayons menés parallèlement à ab, dans le sens ba; nommons^ G^* H|» G2, H2» etc. , les points successifs de contact des différents brins avec chacune des poulies successives. Il est évident que le chemin da point e , ou l'allongement du premier segment EiGiDi du cordon , est égal à la somme des accourcissements de tous les autres segments DfHjGjD, , Djn^GaDa, DeHgF.

Cherchons Texpression du raccouixissement de l'un de ces segments, de celui, par exemple, qui va de la poulie fixe c ( fig. 58) à la poulie mobile c , et qui se compose de Tare dh, de la tangente commune Ag et de l'arc GO.

Menons ce' égal et parallèle au déplacement MM', c' représente alors la nouvelle position du centre de la poulie mobile; dh'G'D' est le nouveau segment, qui remplace le segment primitif dhco ; et Ton a

raccourcissement = dhGD -^ dhUi'^o', ou

racc\ =. A'Agd — A'g'd',

en supprimant la partie dk' commune aux deux segments.

2*. théorème, La projection a'b', sur rf, d'une droite ab parai-

Fig.l. À

lèle à EF ( fig. / j , est égale ù ab.

POUUES ET CORDONS.

contre

cil cl prolongeons- le jusqu*à la ren- '. Âbai2>Sbiis du pointe', «ur Ag, la

Menons le rayon ch et prolongeons- le Dtrc de h' g' en j. Âbai2>Sbns du point

pcrpendicalatrc g'i. Les deux points h et h' étant iiiGniment voisins , Tare élémentaire h'h ei Télénoent rectilignc h'jf qui ont môme projection sur la tangente en h , peuvent être considérés comme égaux entre eux. La droite Ai peut être aussi considérée comme égale à la droite jG^ , dont elle est la projection, et qui forme avec elle un angle infiniment petit. L'expression du raccourcissement peut donc se simplifier et s'écrire :

raccK = igd — g'd'.

Abaissons du point c^ sur AG,Ia perpendiculaire r/K,

TRANSFORMATIONS ENTRE M013V. HECTIL.

qui rencontre en l la circonférence de centre c'. Les angles ikg et d'c'l étant égaux entre eux, il en est de mêuie des arcs dg et d ' r ; et , si Ton supprime chacun de ces arcs dans chacun des termes de la dernière différence, on obtient l'égalité

ratc^. = IG — arc G'L ,

où Ton peut regarder l'arc g'l comme égal à sa projection IK, et, par conséquent, la différence ig — arc g'l comme égale à ig — jk. On est conduit ainsi à la formule

rac&. = gk (1).

(4) Nous admettons ici les égalités

arc h^h = h'j; hi zziJG*; ik == arc g'l.

On pourrait les justiBer, en partant du principe suivant, d'une

grande importance dans Pélude des infiniment petits delà géométrie.

Théorème : Si la droite ab (fig. m), située dans un môme plan

avec la droite bf, forme avec elle un angle i infmiment petit, et sî

a'b' est la projection de AB sur bp, la dirférence bb' — aa' est une fraction infiniment peiile de ab , et la différence ab — a'b' est une fraction infiniment petile de la première différence.

Pour le prouver, menons, par le point a, une parallèle à ep, rencontrant bb' en c ; décrivons le cercle des trois points a, b , c, lequel a pour diamètre ab; abaissons du point c, sur ab, la perpendiculaire CD. Nous nvons d^abord \

cordé Bc < arc bc ;

d'où

BC arc BC

ab diamètre ab '

Fig, m.

POULIES ET CORDONS. . 97

Or, GK est la projection de cc^ sur Ag , el bim' est égal et parallèle à cc^; d'où l'oo Toit (note du n^ 126, 1''. théorème) qae le raccourcissement du segment considéré est aussi égal à la projection du déplacement mm', sur la direction du brin Ag.

On en peat dire autant pour Je raccourcissement de chacun des segments qui Tontde l'un des systèmes ë l'autre ( fîg. 57 ) , y compris le dernier segment DeH^F. La propriété énoncée au n^ 124 est donc , par cela même, démontrée.

19e. Il serait facile d'étendre ce théorème au cas où l'on substitue aux contours des poulies, des courbes planes quelconques, contre lesquelles le cordon est assujetti à glisser.

Nous aurons ensuite, a^b' étant égal à ac, qui est plus grand que ad,

AB — a'b' < AB — ad;

d'où

AB — A'b' BD