I. Exeentriqae eondalsant l'extrémité d'an levier

liye. Soit MNP (fig. 76) un disque qui a sa face antérieure située dans le plan de la figure, et qui peut tourner

Fig. 76. A

autour d*un axe c perpendiculaire à ce plan ; Gn y une rainure pratiquée dans ce disque , et à laquelle l*axe c est intérieur ; £F , un levier situé en avant du disque et mo-bile autour d'un axe c' parallèle à Taxe c; a, un bouton cylindrique , perpendiculaire au plan du disque , ^w^ à l'extrémité du levier ef, et s'engageant dans la rainure GH , dont la largeur est partout égale à son diamètre.

Si le disqu8 mkp tourne autour de l'axe c , lé bouton a glisse dans la rainure , et le levier ep se déplace en tournant autour de Taxe c'.

179. Dans ce mouvement, on conçoit que le bouton a sera cpnduit , tantôt par le bord intérieur de la rainure , et tantôt par le bord extérieur. Néanmoins, on pourra sans inconvénient supprimer le bord extérieur et toute la portion du disque située au-delà , si Ton a fait en sorte que le bouton reste toujours appliqué contre le bord intérieur , soit que le poids même du levier l'y maintienne, soit qu'un ressort R , disposé convenablement , l'empêche de s'en

séparer.

19 S. Négligeant, dans' ce qui va suivre, le diamètre du bouton a , nous réduirons le disque à une ligne gh (ûg. 77 ) située dans le plan de la figure et mobile autour

d'un point c de ce plan ; le levier , à une droite c'a pouvant tourner , dans le même plan , autour de Tune de ses

13^ TRANSFORMATIONS ENTRE MOUV. GIRGUL.

extrémités vJ, tandis que Tautre, A, est assujettie à glisser contre la ligne gh.

Il est essentiel «d'ailleurs , que la ligne GH diffère d*une circonférence de centre G : sans quoi la droite g^a resterait immobile pendant la rotation du disque.

Le disqUe, terminé à )a ligne gh , porte le nom dVxcentrique,

199. Menons, par le point a , la droite ad normale à la ligne gh et prolongée jusqu'il la rencontre de gg' au point D. D'après ce qui a été vu au n\ 139, le rapport dos vitesses des rotations autour des points g et cJ est inverse du rapport des longueurs go et G'o; et ces vitesses sont de sens contraires ou de mêmes sens , selon que le point o tombe entre les points g et g' ou en dehors de ces deux points.

iflO. Décrivons, d'une part, la circonférence de centre G' et de rayon g'a, qui rencontre cg' en k, et le prolongement de gg' en l; décrivons, de l'autre, les circonférences de centre g et de rayons gk et GL. L'extrémité A du levier g^a est nécessairement , dans toutes ses positions , extérieure à la circonférence gk et intérieure à la circonférence GL. D'ailleurs, pour que l'excentrique puisse prendre un mouvement continu de rotation saas que sa liaison avec le levier s'y oppose , il faut que ceuc extrémité a puisse parcourir successivement tous les points de l'excentrique; il faut donc que le contour gh de l'excentrique soit situé tout entier dans l'intervalle compris entre les circonférences de rayons gk et gl.

Cette condition étant remplie, si on suppose en outre que la ligne gh n'ait aucun point de commun avec Tune ou avec l'autre de ces deux circonférences , on aperçoit

qae le levier c'a doit toujours rester situé du même côté de la droite indéfinie cC, puisque le point a nepourrait, sans quitter Texcentriquc , arriver en K ou en l. Le levier C'A ne peut prendre , alors , qu*un mouvement alternatif de rotation , déterminé par le mouvement continu de rotation de rcxcentriqoe.

191. Déterminer la loi du mouvement d*un système donné. — On donne l'excentrique gh (fig. 78) et le levier

Fig. 78.

c'Aq, dans leur position initiale. Ou demande de déterminer les chemins angulaires qu'ils parcourent simultanément , et le rapport de leurs vitesses de rotation pour chacune des positions du système.

Soient pris arbitrairement , sur l'excentrique , les points ^i » 1^2 » ••• » n"^ ^^^ rencontre successivement q^and on

TRANSFORMATIONS ENTRE MOUV. CIRCUL.

parcourt la ligne gh, à partir du point a^, dans un sens contraire au sens f de la rotation. Décrivons , du centre G^ , la circonférence dont le rayon est g^Aq ; et , du centre G , les circonférences qui ont pour rayons les droites cBj , GBj, ... , et qui rencontrent la première aux points A^, Aj, ... , situés avec le point Aq du même côté de gg'. I/extrémité du levier, ne pouvant quitter Texcentrique, doit arriver en a^ avec le point Bj , en a^ avec le point B^* etc. Mais , pour arriver en a^ , Fexcentriqne doit tourner de l'angle b^gAj , et le levier, de Tangle AqG^Aj. Les angles BjGA) et AqG^Aj représentent donc les chemins simultanés de Texcentrique et du levier. Il en est de même des angles BjGAj et AqG'Aj , B3GA3 et AqC^Aj, etc. Ainsi, la première partie du problême est résolue.

199. Cherchons maintenant le rapport des vitesses de rotation, qui répond à une position arbitraire g'a du levier

(fig. 79). Soit B le point de Texcentrique, qui vient passer

en A , et bn la normale à Texceotriquc en ce point D. Quand le point B arrive en a , cb arrive en ca ; et la normale bn vient prendre nne pontion ad que Ton détermine en formant Tangle cad égal à Tangle cbn, da même côté de ac que BN est de bc. La droite ad rencontrant cc^ en D, on a , pour le rapport des vitesses de rotation ,

a' CD

et, le sens de la rotation autour du point c restant le même , celui de la rotation autour du point c^ dépend de la position du point D par rapport aux points c cl c\

19S. Des positions Limites du levier. — Si CB^ (fig. 78) est plus grand que CB^ , Tare a^a^ est plus grand que Tare AqAj ; d'où Ton voit que le levier s*éIoigne de c^G , en passant de la position c'Aj à la position g^Aj. Si CB5 est moindre que cb^ , l'arc AqA^ est moindre que Tare a^a^ ; en sorte que le levier , pour passer de la position c^A4 à la position c'Ag , se rapproche de c^c. Le sens de la rotation du levier a donc changé dans l'intervalle ; et , si l'on suppose que le point B3 de l'excentrique soit plus éloigné du point c que ceux qui l'avoisinent , c'k^ représente la position extrême, du levier, dans laquelle s'effectue ce changement de sens.

Pour trouver l'autre position extrême du levier , dans laquelle il cesse de se rapprocher de c'c et commence à s'en éloigner, on chercherait sur l'excentrique, au-delà du point Bg , quel point est plus rapproché du point c que ceux qui l'avoisinent.

Si , pour assurer le mouvement allernatif dn levier ,

138 TRANSFORMATIONS ENTRE MOUV. CIRCUL.

nous supposons tous les points de Texcentriquc situés à une distance du point c , supérieure à cc^ — c'A^, mais inférieure à ce' 4- c'Aq ( n°. 180 ) ; le plus éloigné d*entre eux nous fera connaître alors le plus grand écartenient do levier , et le plus rapproché , Técartement le plus faible. Nous aurons donc ainsi deux limites que le levier ne peut dans aucun cas franchir, mais qu'il atteint h chaque tour de l'excentrique.

194U Supposons que c'a (fîg. 80) soit une position limite du levier qui , cessant de s'éloigner de c'c, corn-

Fig. 80.

nience b s'en rapprocher. Le point correspondant , B , de l'excentrique est plus éloigné du point c que tous ceux qui Tavoisinent. Dans ce cas , il peut arriver que ki ligne GH soit brisée au poiut B , c'est -à-dire que la tangente BT|

au point b de l*arc bg, ne soit pas sar le prolongement de la tangente bt^ au point B de Tare BH. Il existe alors en B deux normales: l'une bNj pour i*arc bg, l'autre BiXj pour l'arc bh. Quand le point b est en a , ces deux normales ont les positions AD^et aDj situées de part et d'autre de AC, comme bm^ et bNj de part et d'autre de bc.

Considérons le moment qui précède le passage en a du levier et de l'excentrique. L'extrémité du levier parcourt , sur l'excentriqne , le dernier élément de l'arc gb ; ADj est la normale ; le point d^ est situé à gauche de C ; le

a' . , . CDi

levier s'éloigne de c'c : et le rapport — est égal à -7

Considérons le moment qui suit le passage en a do

levier et de l'excentrique. L'extrémité du levier parcourt,

sur l'excentrique , le premier élément de l'arc bh ; aDj est

la normale ; le point d^ est situé à droite de c ; le levier se

a' ... CD,

rapproche de c'c ; et le rapport — est égal à -7

€L C'Da

Écartant le cas particulier où les deux rapports -~-

et —j-^ seraient égaux entre eux , on peut dire alors qu'au c Dg

moment du passage de l'excentrique au point a , le rapport

— change brusquement de valeur ; d'où résulte que , si a

l'excentrique conserve toujours la même vitesse , celle du

levier change brusquement d'intensité. En même temps ,

d'ailleurs, cette dernière vitesse change de sens. On est

donc assuré que le levier, h son passage par la position c'a,

subit un changement brusque dans sa vitesse.

19S. 11 n'en est pas de même si , au point b^ les deux

140 TRAiNSFOHMATIONS ENTRE MOUV. CIRCLL.

tangentes bTj et bt^ (Gg. 81) sont situées sor le prolongement l*une de l'autre. Dans ce cas, en effet , les deux angles gbTj et gbt^ sont droits : car autrement Tun d'eux

Fig. 81.

serait aigu, et Tautre obtus, et la ligne gh traverserait , au point B , la circonférence de centre c et de rayon gb : ce qui ne peut être, puisque, dans le voisinage du point B , tous les points de l'excentrique sont plus rapprochés du point G que n'est le point B. Les angles gbTj et CBTj étant droits, la normale unique au point B se confond avec BC. Par conséquent , au moment où la rotation uniforme de l'excentrique amène en â le point B , la normale vient prendre la position ag, et rencontre la droite gg^ en un point D qui se confond avec le point G. Alors , CD est

'CD o'

nul; G^D, égal àG'G: ' — ou —, à zéro;a' estdoncnul ; et

le levier arrive à la position G 'a avec une vitesse qui passe

par zéro , en même temps qu'elle change de sens. Ainsi ,

aucun changement brusque ne survient dans la vitesse du

levier , lorsqu'il atteint la position g^a.

EXCENTRIQUES. l/ll

ISe. Si le point b de l'excentrique était plus rapproché du point c que tous ceux qui l'avoisinent, on pourrait , de même , supposer successivement la ligne gh brisée en ce point ou continue dans son cours ; et Ton reconnaîtrait encore que , pour la position correspondante du levier, qui cesse de se rapprocher de c'c et commence à s*en éloigner, la vitesse change brusquement dans le premier cas , et dans le second par degrés insensibles.

19 y. Construire un système satisfaisant à des conditions données. — Les positions successives du levier étant données , ainsi que les déplacements angulaires correspondants de l'excentrique , il s'agit de trouver la figure de cet excentrique.

Soit q'Kq (fig. 78) la position initiale du levier; soient c'Aj, c^A^t ••• des positions successives auxquelles correspondent les chemins angulaires Cj , r^,..., parcourus par l'excentrique. On mène les droites ca^ , ga^ , . . . , d'une part ; et , de l'autre , les droites CB^ , CB^ , ... , formant avec les premières , et en arrière des premières par rapport au sens de la rotation autour de G, les angles AjGBj, AjCB^, ... respectivement égaux è r^ , c^ , ... On prend , sur les seconds côtés de ces angles, des longueurs gBj, gb^, ... respectivement égales aux longueurs gAj , ga^, ... ; et l'on obtient ainsi des points 6j , B^, ... , qui , aussi bien que le point Aq , appartiennent à l'excentrique considéré dans sa position initiale : cela résulte de ce que^ si l'on fait tourner successivement l'excentrique des quantités angulaires Cj, Cj, ... , dans le sens f, les points B, , Bg, ... viennent successivement occuper les positions a/, a^ > .-.

Si donc on joint les points Aq , b^ , b^ , ... par un trait

TRANSFORMATIONS ENTRE MOUV. CÎRCUL.

continu , on aura , de Texcentrique , une figure d'autant plus approchée de ia véritable, que Ton considérera un plus grand nombre de positions successives du levier, plus voisines deux à deux.

Il« Exeentrlque eondalMint an levlev qu'il tonelie

suivant sa longueur.

199. Le plan de ia figure , supposé perpendiculaire au plan des deux axes c et c' (fig. 82), détermine, dans

Texcentrique , une sec* ^V" ^2- ^^ ^ tion limitée à la courbe

convexe GH (1) ; et, dans le levier , une autre section dont il suffit de considérer une seule arête ef.

Cette arête, qui va passer au-dessus du point c , est assujettie à rester tangente à l'excentrique. Si , comme on le supposera , la ligne gh diffère d'une circonférence qui aurait son centre au point c, il est facile de reconnaître qu'un mouvement continu de rotation de l'excentrique détermine un mouvement alternatif de rotation du levier.

(i) Une ligne ch (fig.

Fig. n, g

n) est dite convex4 lorsqu'elle ne peut être rencontrée par une droite AB eu plus de deux points, m et if.

Si les points m et n sont infiniment voisins , la droite ab est tangente à la ligne gh , et la laisse ainsi tout entière d'un même côté.

iS9. Supposons donné l'excenlrique Gii dans sa posi* lion initiale; réduisons le levier à une droite issue du point c^ ; et déterminons , par une construction graphique , la loi de son mouvement, lorsque le mouvement de Texcenirique est donné.

La droite g'Aq (fig. 83) , menée par le point c^ tan-

Fig. 83

ihk TRANSFORMATIONS ENTRE MOUV. CIRCUL.

gentiellement à l'excentrique et au-des8usde c^c, représente la position initiale du levier. Soit Bq le point de rencontre de ce' avec Texcentrique ; soient b, , Bj , Bg , . . . des points de l'excentrique , qui , pendant sa rotation , viennent rencontrer successivement cc^ Lorsque le point b^ arrive sur ce', l'excentrique a tourné de la quantité angulaire b^cBi, et le levier s'est déplacé de manière à lui rester tangent. Pour connaître Tangle que le levier fait avec c/c, dans sa nouvelle position , il n'est pas nécessaire de déplacer l'excentrique. On peut faire tourner le point c' autour du point c, jusqu'à ce qu'il vienne en o^ , sur le prolongement de CB| ; mener, par le point o^ et au-dessus de o^c, une tangente o^ Kj à l'excentrique ; et mesurer l'angle co^Ri , qui est l'angle cherché. On voit en effet que, si l'on fait tourner solidairement l'excentrique et la tangente o^K^ y dans le sens de la flèche f, de la quantité angulaire BqCB^, le point o^ arrive en c', et la droite o^k^ dans la position qui convient au levier. Celte position c'a^ s'obtient donc en formant, au point c' et au-dessus de c'c, l'angle cg'A{ égal à l'angle cOiK^.

On obtient de même les positions c'Ajt CAj, ... du levier, qui répondent aux chemins angulaires BqCB^^ BoCBat ... parcourus par l'excentrique dans le sens /, en prenant, sur les directions CBj, CB39 ... , les longueurs cOj, CO3, ... égales à ce'; eu menant, par les points 02,03, ... , au-dessus de o^c , O3C, ... , les droites OjK^ > O3K3, ... tangentes à l'excentrique; et en formant, au pointe', au-dessus de e'e, des angles cc'Aj, cc^Ag,... respectivement égaux aux angles co^K^, eOsKs, ....