S 1". DES VITESSES RELATIVES DE ROTATION

108. Les deux corps dont on veut étudier le mouvement sont terminés par des surfaces coniques ayant leurs sommets situés au point o de concours des deux axes dp et op^ (fig. 89). Une sphère de centre o et d'un rayon arbitraire rencontre les axes en des points p et p' , et dé- . termine, dans les surfaces coniques , des sections ab et A^B^, dont il suffit de considérer les déplacements sur la sphère , autour des pôles res-

AXES CONCOURANTS.

pectîfs p et P^', pour connaître l^s déplacements des corps eux-mêmes.

199. Les lignes AB et a'b' restant toujours en contact, on fait tourner inGniment peu la première autour du pôle p , avec une vitesse angulaire a ; la seconde se déplace alors en tournant infiniment peu autour du pôle p\ avec une vitesse angulaire a'. On se propose de déterminer le rapport de ces vitesses.

tOO. On supposera pour cela ( fig. 90 ) que , dans le voisinage du point i de contact, les courbes ab et a^b^

se confondent avec leur tangente commune ik , laquelle est nécessairement située dans

n L ^ii^v . \ le plan tangent à la sphère

au point i ; puis , après le déplacement infiniment petit ov / •'! I du système, i, étant le nou-

veau point de contact, et I|K| la nouvelle tangente commune, supposée confondue avec les deux courbes dans le voisinage du point l^ , on raisonnera comme si cette droite IjK| était située dans le plan tangent à la sphère au point i , et parallèle à la droite IK. Il ne résultera aucune erreur de cette manière de procéder, parce qu'il s'agit seulement, pour les deux lignes en contact , dé déplacements élémentaires.

«Ol. Gela posé, on peut dire que le point i de la ligne

458 TRANSFORMATIONS ENTRE MOUV. CIRGUL.

AB , en tournant autour du pôle p , décrit un élément im qui se termine sur la droite i^k^ ; tandis que le point i de la ligne a'b^, en tournant autour du pôle p^, décrit un élément im^ terminé sur la même droite iiK^. Si donc on abaisse du point l , sur les axes OP et OP^, les perpendiculaires IH et ih', les rapports — et — représenteront

les chemins angulaires que décrivent les lignes ab et a'b^ autour de leurs axes respectifs op et OP' ; et Ton pourra poser

a IM im'

a' IH * IH'

IM IM'

«09. Or, on peut trouver, du rapport — : — -, une

IH m'

expression très-simple, analogue à celle que Ton a trouvée précédemment , dans le cas du mouvement d'une figure plane dans son plan. En effet , traçons ( Gg. 91 ) les arcs de grand cercle pp', ip et jp^; menons, suivant le rayon 01 perpendiculaire à la tangente commune ik, le plan normal commun aux deux courbes ab et a'b', lequel coupe la sphère suivant un arc de grand cercle idj rencontrant en D l'arc pp', cl en l l'arc mm^ confondu avec le segment MM' de la droite i^k^; joignons od. Abaissons du point p, sur le plan iod de l'arc ID , la perpendiculaire pe ; et , du pied E , sur les droites OD et oi , les perpendiculaires £F et E€ï; joignons les pieds F et g au point p; nous obtenons ainsi les angles reciilignes efp et egp qui mesurent les angles dièdres pdj et pid. Construisons de même les angles rectilignes e'f'p^ etE'G'p' qui mesurent les angles dièdres p'di et p'iD. Considérons maintenant le triangle rectangle

AXES CONCOOIIA^TS.

160 TRANSFORMATIONS ENTRE MOUV. CIRCOL.

élémentaire ilm , dont ie côté ml , parallèle à ik , est perpendiculaire au plan de l'arc ID ; et dont le côté IM, décrit du pôle p , est perpendiculaire au plan de Tare ip. L*angle en M de ce triangle mesure par conséquent l'angle dièdre PID : en sorte qu'il est égal à l'angle en 6 du triangle rectangle pec;. Les deux triangles rectangles ilm et peg sont donc semblables : ce qui donne la proportion

IM IL