S 1". DU MOUVEMENT D*UN POINT

1. Représentation géométrique du mouvement d'un point. — Le mouvement d'un point M (fig. 1) est déter-

Fig. 1.

un

IVIo

miné quand on connaît la ligne gh ou trajectoire que ce point décrit dans l'espace , et la position qu'il occupe à chaque instant sur sa trajectoire.

Cette position, elle-même, peut se déterminer par la

8 XOTIONS RELATIVES AU IIOI]VEIIE^T.

longueur Ugii du chonin parcouru par le mobile depuis l'époque initiale , et mesuré linéairemeni sur la trajectoire à partir de la position initiale u^^ On donne À ce chemin HqM le nom particulier d'espace,

%. Pour reprèsenler géométriquement la grandeur de l'espace i chaque instant , on construit dans un [dan une certaine ligne OK ( fig. 2 ) , de b manière suivante :

' On trace , dans ce ptan , deux droites ot et oe perpendiculaires entre elles et qui [^«inent le nom d'ivoes coordonnés. Oa porte sur ox, h partir do point o, de»

longueurs 01, 12, 23 ^les à l'unité; et, par les

points de division 1, 2, 3, ... , on mène des parallèles i OB. On prend , sur ces parallèles , k partir de la droite ot et dans le sens oE, des longueurs lA,, SAj, SAj, ... re^ctitemenl égales aux espaces parcourus par le mobile après 1,2,3,... secondes. On fait passer un trait continu par les points o, a, , a^, Aj, ... ; et l'on obtient ainsi une ligne ok qui , une fois construite , permet de déterminer aisément l'espace parcouru par le mobile après un nombre quelconque de secondes , puisqu'il suBSl , pour cela , de rechercher la parallèle dont le numéro d'ordre

MOUVEMENT d'UN POINT. 9

répood au nombre de secondes écoulées , et de mesurer , sur cette parallèle , la longueur interceptée entre la droite OT et la courbe.

Si Ton porte sur OT des longueurs égales, non plus 5 Funité , Hiais au dixième de Tunité ; si , par chacun des points de division , on mène des parallèles à OB ; et si l'on prend , sur ces parallèles, à partir de la droite OT, dans k sens oe 9 des longueurs respectivement égales aux chemins parcourus par le mobile après chaque dixième de seconde; on obtiendra ainsi une série de points, dont les points A|, Aj, A3... feront partie, et par lesquels on pourra conduire la ligne eK. Cette ligne alors fera connaître , de dixième de seconde en dixième de seconde , les espaces décrits.

De même , on pourra , si Ton veut , représenter géométriquement , au moyen de la ligne OR , les espaces décrits après chaque centième , ou après chaque millième de seconde, ou à des intervalles de temps plus rapprochés. Mais il nous importe moins, ici, de rechercher h Taide de quels procédés on construirait une ligne donnant à toute époque la grandeur de l'espace , que de concevoir son existence.

Cette ligne prend le nom de ligne des espaces parcourus parle mobile ; et Ton voit , par ce qui précède , que le mouvement du mobile est complètement déterminé lorsque l'on donne sa trajectoire gh (Gg. 1) et ta ligne ok de ses espaces (fig. 2). En effet, si Ton veut savoir, par exemple, où se trouve le mobile après 5,298 secondes, on prend sur la droite OT une longueur OB égale à 5,298 unités ; on mène, parle points, une parallèle à oe, rencontrant en a la ligne ok; on mesure la longueur ba ; on détermine sur la ligue GH, à partir du point Mo et dans un sens convenable, un

arc MqM égal en longueur à ba. L'eitréinité m de cet arc donne le lieu où se trouve le mobile à Tépoque considérée. La droite OT est dite Vaxe des temps, parce que chacune de ses unités représente une unité du temps écoulé. La droite OE, parallèlement à laquelle se comptent les espaces , est dite Vaxe des espaces. Ces deui axes sont toujours donnés en même temps que ta ligne ok.

8. Du mouvement uniforme et de sa vitesse, — La ligne des espaces n*est pas nécessairement une ligne courbe* 11 peut arriver qu'elle soit droite , en tout ou en partie. Soit ainsi kl (fig. 3) une portion rectiligne de la ligne des

Fig. 3

Bi % Ba

espaces. Prenons-y des points a,, Aj, A3, ... .également distants deux à deux, et abaissons de ces points sur OT les perpendiculaires A, B,, A^Bg'. A3B3, ..., qui représentent les espaces parcourus par le mobile aux époques marquées par

les longueurs ob^ ,082,083 Des extrémités A^ , Aj,. . .

de chaque parallère, menons, jusqu'à la rencontre de la parallèle suivante, les perpendiculaires A jCj, A2C2, ... Tous les triangles k^k<fi^, AgAgOj, ... sont égaux, et par suite

HOtVEMENT d'un POtNT.

aussi toatcs les lignes b^b,, b^Bj , .«.• D'ailleurs a^^ , A3C2, «.i , diflérences consécutives des longueurs a^b^ , a^Bj , A3B3, ... ^ représentent les espaces parcourus dans les in-^ tervalles de temps marqués par B^B^, b^Ej, .... On en cx>ndut que les espaces parcourus dans des temps égaux sont égaux.

Le mouvement est dit alors uniforme ; et l'on appelle vitesse du mouvement, l'espace parcouru paf le niiobile pendant une seconde. Cet espace peut s'obtenir en divisant un espace quelconque par le nombre de secondes employées à le parcourir ; en sorte que la vitesse a pour expression nnnaérique le rapport des deux droites qui j'eprésentent l'espace et le temps, par exemple , le rap port de AjCi à BiB^ , ou celui de A2G1 à ^^c^,

La vitesse d'un mouvement uniforme étant connue une fois pour toutes , il est évident que l'espace parcouru par le mobile à une époque quelconque et pendant un temps quelconque , s'obtiendra en faisant le produit de la vitesse par le temps.

4* De la vitesse d'un mouvement varié , et de sa représentation géométrique. — Revenons au cas le plus général, à celui (fig. U) où la ligne OK des espaces est

Fig, U, 9^ Fig, 5.

coarbe,etoù le mouvement , u*étant plus uniforme , est (lit varié. Si Ton prend sur cette ligne un arc infiniment petit aa' , lequel correspond à un temps infiniment petit bb' , on peut considérer cet arc élémentaire comme rectiligne (i), et, par suite, regarder le mouvement

(t) Note sur les courbes et sur leurs tangentes : 1. Si, sur une ligne courbe située d'une manière quelconque dans l'espace , on prend (fig. a) une série de points a, b, g, .... z.

infiniment voisins deux à deux, ces points divisent la courbe en arcs infiniment petits, ab, bc, ..«, qui peuvent être assimilés ù des lignes droites ; en sorte que la courbe elle-même peut être assimilée à un contour polygonal. Chacun des côtés hn de ce contour prend le nom d'élément de la courbe ; et cet élément , indéfiniment prolongé au-delà des points h et n, fournit une droite qui est dite tangente à la courbe au point h.

On obtient donc (fig. b) la tangente à la courbe az, au point m,

Fig. b.

en menant par ce point une sécante hs qui coupe la courbe en un second point n, voisin du point m, et en faisant tourner cette sécante autour du point m, jusqu'à ce qu'elle atteigne la position ht pour

MOUVEMENT D*UN POINT

comme uniforme pendant l'intervalle de temps bb'. Or , si l'on mène, du point a , la droite âc perpendiculaire sur a'b', a'g représente l'espace parcouru dans cet intervalle. La vitesse de ce mouvement uniforme est donc , en vertu de ce qui précède, égale au rapport de a'c à bb', ou à celui de a^c à ac ; c'est-à-dire égale au rapport de l'élément mm' du chemin parcouru sur la trajectoire gh ( fig. 5 ) , au temps employé à le parcourir.

laquelle le point n vient se confondre avec le point m. La droite mt est la tangente.

2. On appelle plan normal à la courbe au point m, le plan mené par ce point perpendiculairement à la tangente.

3. On dit que deux courbes ab Fig, C. 3 et CD (fig. c) se touchent en un

point M, lorsqu'elles ont, en ce point M, la même tangente mt.

En ce point m , elles ont évidemment aussi le même plan normal.