On dit que deux courbes se rencontrent normatement en un

point, lorsque leurs tangentes en ce point sont perpendiculaires entre elles.

A. On dit qu^une courbe ab est plane , lorsqu'elle est située tout

entière dans un plan ; et Ton ^^Ç» ^* appelle normale à la courbe au

point M, la droite hn (fig. d) menée par ce point, dans le plan, perpendiculairement à la tangente MT.

6. Deux courbes planes qui se- (ouchent en un point m , ont évidemment en ce point même normale; et, réciproquement, si elles ont même normale au point m, elles y ont aussi même tangente*

ïk NOTIONS RELATIVES AU MOUVEMENT.

On dit que ce rapport représente , en grandeur , la vitesse linéaire , ou simplement la vitesse du mobile à rinstant considéré ; et Ton appelle direction^ de la vitesse à cet instant , la direction même de Félément mm' du chemin , c'est-à-dire la direction de la tangente mi au point M , menée dans le sens du mouvement.

La vitesse du mobile étant connue pour chaque instant , il est évident que , si Ton multiplie sa valeur à un instant quelconque par un temps infiniment court , on obtiendra le chemin élémentaire parcouru par le mobile h partir de cet instant et pendant ce temps infiniment court.

^» La considération de la courbe des espaces fournit un moyen simple de représenter géométriquement la vitesse. Que Ton trace , en effet , le prolongement de Télément aa' ( fig. U) , c'est-à-dire la tangente as au point A de la ligue OK ; que , sur AC prolongé , on prenne la longueur ad égale à Tunité ; que Ton mène ensuite, par le point D , la droite ds parallèle à oe, et se terminant en s sur la tangente ; le rapport de A'c à AC est égal à celui de SD à AD ; il a donc même expression numérique que SD, puisque AD est égal à l'unité. Ainsi , la ligne SD représente la vitesse du mobile à l'instant marqué par OB.

Si , à partir de cet instant , la vitesse , cessant de varier, conservait la valeur qui répond à l'intervalle de temps BB^ le mouvement deviendrait uniforme, et la droite AS représenterait la ligne des espaces, en même temps que SD serait la grandeur du chemin parcouru dans l'unité de temps.

6« Construction géométrique de la vitesse d'un mouvement donné par l'observation, — Le mouvement dont

MOUVEMENT D'ln POINT.

on veut déterminer la vitesse peut être donné, soit par l'expression de la loi qui le caractérise , soit par Tobservation. Dans ce dernier cas , qui sera pour nous le plus ordinaire , on détermine expérimenialement les espaces parcourus , MoM, , MoMj . M0M3 , ... (fig. 6) , à des

Fig. 6.

tfi

Fig. 7.

Bi B« B B3

époques su£Bsamment rapprochées ; on prend sur OT ( fig. 7) les longueurs ob^ , ob^, 0B3, ... proportionnelles aux temps écoulés depuis l'époque initiale , c'est-à-dire renfermant autant d'unités et de parties d'unité qu'il s'est écoulé de secondes et de parties de seconde depuis l'époque initiale ; on mène parallèlement à ce les droites B^Ai , B2A2 * B3A3, ... , respectivement égales en longueur aux espaces m^Mj , MqM^ , M0M3 , .... Les points Aj, A2 , A3 , ... appartiennent à la ligne des espaces ; et l'on s'en sert pour tracer à la main une ligne OK, qui diffère d'autant moins de cette ligne des espaces , que les points A( , A^ , A3 , ... sont plus rapprochés et plus nombreux.

Si l'on veut avoir, alors, la vitesse à une époque quelconque , on prend la longueur ob proportionnelle au temps qui s'écoule jusqu'à cette époque ; on mène ba parallèle à OE et rencontrant la courbe au point a ; on construit , à vue, la tangente as à la courbe au point a; et l'on obtient ensuite la vitesse SD comme il a été dit précédemment.

V. Du rappùrt des vitesses simultanées de deux mobiles, -- Deux points inobiiés occupent au même instant les positions a et B ( fig. 8 ) sur leurs trajectoires respec-

Fig. 8.

tives GH et IK ; on vcul, à cet instant, comparer leurs vitesses.

Supposons d*abord les mouvements uniformes. Soit aa' et BB^ les chemins que ces deux points parcourent simultanément à partir de cet instant et pendant un temps t quelconque. On a , d'une part ,

Vitesse de A= ;

de l'autre ,

Vitesse de b= .

11 en résulte

vit. de A aa' bb'

vit. de b r t ou, en simplifiant suivant des règles connues,

vit. de A aa'

vit. de B bb' '

(i) Les deux points indiquent, comme la barre horizontale, une division à effectuer. Ou les emploie de préférence à la barre, lorsque l'opération porte sur des expressions fractionnaires, où la barre figure déjà.

MOUVEMENT D'ON POINT. 17

c*est-à-dire que le rapport des vitesses des deux mobiles est ^al au rapport des chemins qu'ils parcourent simultanément pendant un temps quelconque.

Passons maintenant au cas général , où les mouvements sont variés. On peut, pendant un intervalle de temps infiniment court, les considérer encore comme uniformes ; et, si aâ' cl bb' représentent les chemins élémentaires parcourus dans cet intervalle , on a encore

vit de A aa'

vit de B bb'

On énonce ce résultat en disant que le rapport des vitesses des deux mobiles est égal au rapport des chemins infiniment petits qu'ils parcourent simultanément

9. Cas oà les deux points A et B sont liés d'une manière complète. — Si les deux points A et b appartiennent à une uiiachine dans laquelle les liaisons sont complètes , on peut faire varier la grandeur absolue des vitesses sans que leur rapport en soit modifié. Gela résulte de ce que le déplacement aa' du point a détermine d'une manière complète le déplacement bb' du point B;

en sorte que le rapport — ^ reste le même , quel que soit

le temps t infiniment court pendant lequel ces déplacements s'eiïecluent

Par exemple, dans le cas du treuil des puits, si le rayon de la manivelle est double du rayon du cylindre sur lequel la corde s'enroule , le chemin parcouru par la main de l'homme est double de la longueur de ta corde qui s'enroule^ ou double du chemin que le fardeau parcourt. La vitesse de la main est donc , aussi , toujours double de la vitesse du

fardeaa , que le treuil tourne plus ou moin» rapidement , que son mouvement s'accélère ou qu'il se ralentisse.

O. Du mouvement circulaire d'un point. — Lorsqu'un point M ( ûg. 9 ) se meut sur pig^ 9.

unecirconférencedontlerayon r est donné, et dont le centre est en 0, la droite OxM tourne autour du point 0, dans le plan de la circonférence; et l'on peut déterminer le mouvement du point M, en donnant à chaque instant la grandeur de l'angle que forme le rayon mobile OM avec le rayon fixe cm» qui passe par la position initiale, Mo, du point M. Cet angle, que' l'on désigne sous le nom de chemin angulaire du point M, peut être évalué , soit en degrés , soit , linéairement, au moyen de l'arc mom qu'il intercepte sur une circonférence ayant son centre au point et l'unité pour rayon (1).

(1) Les deux secteurs semblables hoMo et mofito donnent la proportion

MMo IRflto

OH om Le rayon om étant égal à Tunité, on peut écrire

MMo