TS

186 TRANSFORMATIONS ENTRE MOUV. CIRCUL.

939. Considérons maintenant (fig. 107, 108, 109 et 110 ) le cas où k' est intérieur à cire. r. Il faut, pour que B passe en d , que l soit moindre que dg, ou que l'on ait

/<r-f-r' — rf;

et , pour que B passe en E , que l soit plus grand que kg, ou que Ton ait

Ces inégalités, dans lesquelles nous renfermons implicitement les égalités qui leur correspondent , ne sont compatibles que dans le cas de d<^r*, c*est-à-dire lorsque le centre a est inlérieur à cire, r' (fig. 108 et fig. 110 ).

938. Ainsi , pour que la bielle puisse servir à transmettre un mouvement continu de rotation , il est nécessaire que le centre de la grande circonférence soit intérieur à la petite , et que la longueur de la bielle soit comprise entre les deux segments moyens de la droite aa^.

5K84. Ces conditions sont d'ailleurs suffisantes. On le démontrerait en les supposant remplies , et en faisant voir que le point Bpeut prendre toutes les positions sur cire, r, sans que les rotations des points B et B' autour des centres respectifs a et A' cessent de s'effectuer dans le même sens.

On établirait ce dernier point en rappelant les remarques faites au n^ 221 , et en démontrant que les centres a et A' sont toujours situés d'un même côté de la bielle bb', ce qui exclut d'ailleurs l'existence de tout point mort dans le système.

fl. Des eondliiens dans le«quelle* l'un de» mou» vemeiits eirevlaireii e«t eontlna » r«atre étant alternatif.

Supposons que a soit intérieur à drc. r' (fig. 108 et fig. 110) , mais que la longueur l ne soit pas comprise entre eg et dg. On a déjà yu que le point b ne peut satisfaire à la fois aux deux conditions de passer par le point D et par le point E ; et l'on aperçoit, de même, que le point b' ne peut satisfaire à la fois aux deux conditions de passer par le point F et par le point g. Ainsi , la bielle ne peut , dans ce cas , servir à la transformation qui nous occupe.

Supposons donc le centre a extérieur à cire, r'. On sait déjà que le mouvement continu du point B est impossible. Il reste à voir si le mouvement continu du point b' est réalisable. On distinguera pour cela deux cas , selon que A^ est extérieur ou qu'il est intérieur à cire, r.

1**. a' extérieur à eire, r. — Que les circonférences soient extérieures (fig. 105) ou sécantes (Gg. 106), le point B^ ne peut passer en F que si l'on a />fo ; il ne peut passer en G que si l'on a /<ge. La longueur de la bielle doit donc être comprise entre les deux segments moyens,

2°. a' intérieur à cire, r, — Que les circonférences soient sécantes (fig. 107) ou intérieures (fig. 109), le point B^ ne peut passer en g que si la longueur l est plus grande que GD et moins grande que ge; c'est-à-dire si elle est comprise entre les deux segments moyens : auquel cas b' peut également passer en F.

{t3y . Ainsi, pour que la bielle puisse servir à transformer un mouvement circulaire continu dans un mouvement cir-

TRANSFORMATIONS ENTRE MOUV. CIRGUL.

culaire alternatif, 6u réciproquement, il faut que le centre de la grande circonférence soit extérieur à la petite et que la longueur de la bielle soit comprise entre les deux segments moyens de la droite aa^. Ces conditions sont d'ailleurs suffisantes, comme on le démontrerait en faisant voir que , si elles sont remplies , le point b' peut occuper sur cire, r' toutes les positions.

On reconnaîtrait aussi que la bielle ne passe jamais par le centre a , tandis qu'à certains instants elle passe par le centre a'. Examinons quelles propriétés caractérisent les positions particulières qu'elle prend alors.

%9^. Des conditions auxquelles sont assujetties les grandeurs (/^ r,r* eiLyW résulte que les deux circonférences décrites du point a^ comme centre (fig. 111 ) avec

Fig 111.

les rayons /— r' et lr\-r' , rencontrent cire, r, la première en des points h et h^ , la seconde en des points K et k^. L'extrémité B de la bielle ne peut être située que sur l'un des deux arcs HK et h^k^ ; et la symétrie indique qu'il suffit de considérer un seul de ces arcs. Soit, par exemple.

BIELLF. 189

)*eitréinité B située sur l'arc hk. Si Ton mène les droites indéfiDies ha' et ka', qui rencontrent cire, r\ la première en h' au delà du centre a', la seconde en r' endeçà, les deux segments hh^ et RK^ ainsi déterminés, représentent deux positions particulières , pour lesquelles la bielle traverse le centre a^

1^39. Supposons que l'exttémité b' soit conductrice , et que son mouvement de rotation autour de a' soit continu et uniforme. Quand b' est en H^ B est en h ; B^ allant de H^ en R^ B va de H en R; et, en même temps que b' arrive en K'', b arrive en k. b^ continue à tourner dans le même sens et va de K' en h'; le sens de la rotation change pour B, qui va de K en h. Ainsi, b' tournant indéfiniment autour de A 'et dans le même sens, B oscille en allant alternativement de H en k et de R en h. La vitesse a de ce ^ mouvement d'oscillation est d'ailleurs variable, son rapport à la vitesse a' de rotation autour de a' étant inverse du rapport des distances de la bielle aux centres a et a^ ( n°. 219 ). II en résulte en particulier que , pour les positions hh' et KK^ de la bielle^ la vitesse de B devient nulle en changeant de sens.

{t40. Si , au contraire , Textrémité b^ est conduite , les points H^ et K*^ sont des points morts ; et la bielle ne peut les franchir qu'en vertu de sa vitesse acquise.

m. De» eondltioBS dan» lesquelles les denx extré» mités de la bielle ne peuvent prendre que des mouirements alternatifs*

!t4l. Quelles que soient tes grandeurs des deux cir-

TRA1SSF0BMATI0NS ENTRE MOUV. CIRCUL.

conférences et leurs positions relatives , si la bielle n'a pas une longueur intermédiaire entre les deux segments moyens de la droite aa^ , elle ne peut servir ni à Tune ni à l'autre des transformations précédentes; maïs elle est apte à transmettre un mouvement circulaire alternatif; et l'on détermine aisément les chemins des points B et b^ sur leurs circonférences respectives , ainsi que les points morts du système.

%4,lt. Par exemple , dans le cas (fig. 112) où les deux circonférences de rayons r et r' sont extérieures l'une à

l'autre , et où / est compris entre le segment minimum OG et le plus petit segment moyen df , la circonférence de centre A^ et de rayon C-^r' détermine , sur cire, r , l'arc KDRj que le point b peut parcourir; la circonférence de centre A et de rayon l'-\-r détermine , sur cire, r ' , l'arc n'gn^j que peut parcourir le point b'; kk' et Ki^'i représentent les positions pour lesquelles la bielle bb', prolongée au-delà du point b', rencontre le centre a'; NN^et NjN^j, les positions pour lesquelles la bielle, prolongée au-delà du point b, rencontre le centre a; k< etK'. sont les points morts de cire, r' quand l'extrémité B de la

bielle est conductrice ; n et N{ sont les points morts de cire, r quand cette extrémité B est conduite.

194S. Si, dans une autre hypothèse , les deux circonférences de rayons r et r^ sont sécantes ( fig. 1! S) , et si

Fig. 113.

/ est moindre que dg, les circonférences de centre commua A' et de rayons r' — L et r'+Z limitent , aux points h et K^Fexcursion du point b sur cire r;les circonférences de centre commun a et de rayons r— / et r-\-l limitent , aux points M^ et n^ Texcursion du point b' sur cire, r'; HH^ et kk' , MM^ et NM^ sont les positions de la bielle qui répondent aux positions extrêmes de Tune ou de l'autre de ses extrémités; h' et K\ m et n sont les points morts.

§ 4. DE L*EXGENTBIQUE GIBCULAIBE.

1944. Si Ton suppose (fig. llZi) le bouton qui termine

192 TRANSFORMATIONS ENTRE MOUV. CIRCUL.

la manWelle â'b^ transformé en un disque mnp de centre B^ et d'un rayon supérieur à r^ , Taxe de rotation a' doit alors traverser le disque, lequel prend le nom à' excentrique circulaire et sert à transformer le mouvement continu de

Fig. iVx.

la manivelle a^b' dans le mouvement alternatif du levier AB. La grandeur des dimensions du bouton mnp exige une disposition particulière de la bielle , formée , pour cela , de deux tiges bm et bn qui se réunissent par une extrémité autour du bouton B , et qui , par l'autre , se rattachent à un collier embrassant le disque et pouvant glisser contre son contour. Le rapport des vitesses de rotation est d'ailleurs inverse du rapport des distances des deux axes de rotation a et a' au plan mené par les deux axes d'articulation B et B^

SECONDE SECTION

AXES NON PARAILÈLES.

§ 1*^ CAS d'un Déplacement arbitraire de la bielle DANS l'espace; vitesses de ses extrémités.

«45. L'extrémité b de la bielle bb' glissant contre la

ligne EF (6g. 115) eo même temps que son extrémité B^ glisse contre la ligne e'f', considérons le déplacement

Fig. 115.

infiniment petit qni Tamène de la position bb^ à la position bb\ Prolongeons les éléments b6 et Ti'b' que décrivent les points b et b', et prenons, sur ces éléments prolongés, des longueurs bh et b'h^ , respectivement égales aux vitesses veiv' des points b et B^ Nous aurons alors

bh bA

B^' ~ ¥b' * Menons par le point b une droite br parallèle à b'h\ et par les points b' et h'^ parallèlement à b'b, les droites b'k et H'R qui rencontrent BK aux points A: et k; joignons bK et HK. Les droites Bk et bk étant égales respectivement à b'6' et B'H', on a la proportion

BH b6 BK bA; ' d*où il résulte que bk est parallèle à hk.

194 TRANSFORMATIONS ENTRE MOUV. CIRCLL.

Mais le triangle bkb^^ ayant les deux côtés bb^ et kb^ égaax à bb' , est isoscèle, et sa base bk est infiniment petite; l'angle en k diffère donc infiniment peu d'un droit On en conclut que les droites hk et bb' , respectivement parallèles aux droites bk et kb^, sont perpendiculaires entre elles.

Cela posé, soit G le pied, sur bb', de la plus courte dislance des droites hk et BB' ( la longueur de cette plus courte distance se réduisant à zéro , quand les droites bh et b'h' sont situées dans un même plan, ce qui a lieu à chaque instant si les lignes ef et E'F'sont elles-mêmes situées dans un même plan ) ; le point G est la projection , sur BB', de tous les points de la droite hk; il est donc, en particulier, la projection de h et de k. Si , d'une autre part, on projette n' en g', sur la droite indéfinie bb' , on détermine un segment b'g^ égal au segment bg , comme le prouve l'égalité des triangles b'h'g^ et bkg. Mais, de ce que les points g et g^ sont les projections des points H et H^i les droites bg et r'g' sont les projections des vitesses BH et B^H^. On a, en conséquence , le théorème suivant (qui renferme implicitement ceux des numéros 219 et 220) :

Quel que soit le déplacement de la bielle dans l'espace , les vitesses linéaires de ses extrémités se projettent sur elle, à chaque instant , suivant des droites égales.

^4«. Ce théorème conduit à une expression simple du rapport des vitesses v et v'. Que Ton prenne, eQ effet, sur la droite indéfinie bb' , à partir des points B et b' et dans le sens BB^, des longueurs égales bi et b'i', arbitraires d'ailleurs; que l'on mène, par les points i et i\ perpendiculairement à bb', les droites ij et i'j\ situées, la première dans le

plan de la bielle et de la tangente à ep ao point B , la seconde dans le plan de la bielle et de la tangente à b'f' ao point b'; qne l'on termine ces perpendiculaires u et lY aax points J et j' , où elles rencontrent les tangentes ; on aura, d'one part,

BJ BI

bh'~bg • de Tantre ,

par

suite , il viendra

BJ^ BH ""

on,

ce qui équivaut

BJ

Il suffit donc de déterminer le rapport des droites bj et b'j^ pour connaître celui des vitesses v etv\

Remarque : Si , pour les points B et B' , les tangentes aux trajectoires ef et e^f' sont parallèles, les angles ibj et i^b'j^ sont égaux; 11 en est donc de même des triangles rectangles bu et b'i' j' , ce qui entraîne Tégalité des droites BJ et b'J''. La formule précéclente montre alors que le rapport des vitesses est égala Tunité. Ce résultat, qu'on aurait pu d'ailleurs établir directement, on l'énonce encore en disant que, si les deux extrémités de la bielle ont des vitesses parallèles, ces vitesses sont égales.

TRANSrOBMATlONS ENTRE MOUY. CIRCXL.