I. Propriétés i^énérales

ItHO. Lorsque le rapport - doit rester constant , il faut

choisir convenablement les surfaces

cylindriques par lesquelles les deux

corps demeurent en contact La

surface mobile autour de Taxe cons-

titue la roue, et ab (fig. 124) est

le profil de l'une de ses dents.

L'autre surface , qui peut prendre

un mouvement de translation, porte

le nom de crémaillère; EF est le profil de Tune de ses dents.

Pendant toute la durée du mouvement , les dents de la

crémaillère viennent successivement engrener avec celles

de la roue ; et c'est au moyen de cet engrenage que le

mouvement se transmet indéfiniment.

Fig. i2U. \

«71. Soit r la valeur constante du rapport - . Dans le

plan de la figure , menons , par le centre c de la rotation ,

une perpendiculaire , ex , à la direction de la translation ;

prenons , sur celte perpendiculaire , à partir du point c ,

une longueur CD égale à r; décrivons , du centre c, la

216 TRANSr. ENTBEMOUV. RECTIL. ET MOCV. CIRCUt.

circonférence de rayon r; menons enfin, par le point n, la droite gh , perpendiculaire à CD et conséquemmcnt tangente à la circonférence.

Si la circonférence se meut solidairement avec la roue , le point D, considéré comme appartenant à la circonférence, possède la vitesse linéaire axr. Si la droite GH se meut solidairement avec la crémaillère , ce même point d , considéré comme appartenant à gb, possède la vitesse r. Mais,

puisque, par définition de r, - est égal à r, on a Tégalité

Le point d de la circonférence a donc même vitesse que le point D de la droite : c'est-à-dire que , par le point de contact , il passe simultanément des longueurs égales de la circonférence et de la droite , ou que la circonférence et la droite roulent Tune contre Tautre. La première représentera désormais la roue , mobile sur son centre ; la seconde représentera la crémaillère , qui ne peut glisser que suivant sa longueur.

Le rapport r étant donné , ainsi que le centre de la rotation et la direction de la translation , la circonférence et la droite sont connues par cela même.

!t9«. On a supposé tacitement que , dans le voisinage du point D , le sens du mouvement est le même pour la roue et pour la crémaillère. Si le contraire avait lieu , ou devrait porter la longueur cd , à partir du point c , en sens contraire de GX : ce qui transporterait la droite g» de Tautre côté du. point c; et Ton serait ramené au ca» précédent.

CRÊMAfLLÈRES.

Fig. 125.

Reportons-nous au cas de l'engrenage cylindrique, et supposons que c cl c' (fig. 125) soient les centres des

deux circonférences primiiives de rayons r et r' respectivement égaux à CD et c'D.

Les points G et d restant fixes, éloignons à Tinfini le centre c'.

L'arc de cercle de centre c' et de rayon g^d se confond alors avec la perpendiculaire gh à gd , menée par le point D et louchant en ce point la circonférence CD : en sorte que la translation parallèle à gh peut être assimilée à une rotation effectuée autour d'un centre situé à l'infini sur le prolongement de CD.

Cette remarque , qui fait de la crémaillère un cas particulier de la roue plane , permet d'étendre à l'engrenage d'une roue avec une crémaillère, les propriétés établies dans le cas de l'engrenage plan de deux roues. Il suffit , pour cela , d'introduire , dans l'expression de ces propriétés , l'hypothèse d'un rayon r' infiniment grand , et d'interpréter les résultats en écartant toute considération de grandeur infinie.

%ll^. Si l'on trouve d'ailleurs que cette manière de procéder n'offre pas une rigueur suffisante, on pourra néanmoins l'accepter comme une méthode mnémonique fournissant les énoncés relatifs à la crémaillère ; et la connaissance de ces énoncés facilitera la recherche d'une démonstration directe de propriétés que l'on aura formulées d'avance.

218 TRANSF. ENTRE MOUV. REGTIL. ET MOUV. GIRGUL.

te 9 S. On reconnaîtra, ainsi, que la construction indiquée aux n**'. 1Z|8 et 1^9, et qui donne, dans le cas des engrenages plans, la dent a^r' de la roue r^ au ^oyen de la dent ar de la roue r, est applicable de point en point à la recherche de la dent fë de la crémaillère (fig. 126), au moyen de la dent ar de la roue : à la condition d'assimiler

Fig. 426.

la tangente gh à la circonférence primitive r', et les perpendiculaires sur GH à des rayons de cette circonférence , leur point de concours étant à Tinfini sur GX.

n. Crémaillère h. flancs droite.

1(96. On donne pour flanc oa de la roue (fig. 127) une droite dirigée vers le centre G ; et , pour flanc o'f de la crémaillère, une perpendiculaire à gh ; on demande de déterminer les faces o'e et OR qui conduisent ces flancs ou que ces flancs conduisent.

D'après la règle indiquée (n"^. 15Zi et 155) dans le cas de Tengrenage de deux roues à flancs droits, on obtiendra la

CRÉMAlLLkBKS.

Fi g, 127.

lace o^£ , en faisant rouler contre la circonférence r^ une

circonférence de diamètre r, et en déterminant Je lieu géométriqued*an point particulier de cette dernière circonférence. Mais le rayon r' est infini. Il faut donc faire rouler contre la droite GU la circonférence de diamètre r ; ce qui donne , pour lieu géométrique, un arc o'e de cycloïde.

D'une autre part, quand les rayons r et r' sont finis, on obtient la face OB en faisant rouler contre la circonférence r une circonférence de diamètre r', et en déterminant le lieu géométrique d*ûn point particulier de cette dernière circonférence. Dans le cas actuel, où r' est infini, la circonférence de diamètre r ^ est une droite, qu'il faut faire rouler contre la circonférence r ; ce qui donne , pour lieu géométrique , un arc ob de développante de cercle.

tevi. La figure des faces une fois obtenue, il faut assurer la continuité de la transmfssion du mouvement. Pour cela , on prend , sur la circonférence et sur la droite , du même côté du point d (fig. 128) , des longueurs do et do' ^ales entre elles. On divise la circonférence r en un nombre arbitraire de parties égales , au moyen des points o, Oj, 02» •••• On partage de même, au moyen des points o^, 0^1 , 0^2' ••• > la droite indéfinie gh en parties toutes égales entre elles et aux divisions rectifiées de la circonférence r. Par les points o, o^, o^, ... on fait passer les dents de la roue; par les points o', o', , o'j, ... on

220 TRANSF. ENTRE MOUV. REGTIL. ET MOUV. CIRCUL.

fait passer les dents de la crémaillère ; el od limite les

Fig. 128.

longueurs des unes et des autres, de telle sorte qu'au moment où deux dents sont en pleine prise au point D , la prise commence pour les deux dents qui suivent , et cesse pour les deux dents qui précèdent.

Dans le cas de la figure , c'est la roue qui conduit ]a crémaillère ; et la flèche f indique le sens du mouvement.

itH^. Il resterait à compléter les profils de la roue et de la crémaillère, en traçant d'autres flancs et d'autres faces qui rendissent l'engrenage réciproque ; et en ménageant, entre deux dents consécutives de chacun des deux systèmes en mouvement , des creux assez profonds pour livrer passage aux dents de l'autre.

«99. Nous nous bornerons à ces indications sommaires, en renvoyant le lecteur à ce qui a été dit dans le cas de l'engrenage de deux roues planes , et en lui laissant le soin