XXX. Si on fait ou 7 = 0 dans les formules
des trois articles précédents , on aura les résultats qui suiyent :
, cor* <i = rR* 4-7 Rcw*"
<Hi* a = iR* — îRcoran ‘
a cor* 7/> ,
R-4-cor/>=-
R— cosp =
ttin^pcos^p ttnp:= R
tinp tang^p
R-4- cor^ R
COttp
TB IGOIf OMBTftlB.
*in P cot J P R
long (a + ft)
R — eos P R tang j p
K cos P coi'~p R’
R — cot p R’ tang' ^ P - t
XXXI. Pour développer au5si quelques formules relatives aux tangentes , considérons l’expression
tang (a-f-} è = + subs-
titution des valeurs de sin (a + et cos (a donnera
R ( tin a cos b -f- sin h cos a )
cot a cot b — sin h sin a
„ . cos a tang a , , cos b tang b
Or on asina — ^ ^ et sin b r=
substituant ces valeurs et divisant ensuite tous les
termes par cos a cos b, on aura
/ . I \ ( tting a -4- tang b )
tang (a + b)-= — 5 — z: « ^
° ' ' R — tang a tang b
C’est la valeur de la tangente de la somme de deux
arcs , exprimée par les tangentes de chacun de ces
arcs ; on trouverait de même pour la tangente de leur
différence
/ .V (tang a tang h 't
tang (a — b) =:: ^
^ ~ ' ' R tang a tang h
Soit b=a, on aura pour la duplication des arcs la formule
a R’ tang a
d’où résulterait R-
cot a a = -
tangua otanga cot a-^ tanga.
Soit J = a a, on aurait pour leur triplication la formule :
angZa=L + Q
^ R’ — tanga tang % a ’
Digüi.
Goojjle
TKICONOMiTKIB. 36l
dans laquelle si on substitue la valeur de tan^ a a ,
on aura
tang 3 a =
3 R • tang a — tang * a
R‘ — ^ tang' a
xxxii. Le développement des formules trigonométriques , considéré dans tonte sa généralité , forme une branche importante de l’analyse , sur laquelle on peut consulter l'excellent ouvrage d’Euler, intitulé ; Introductio in anal.
Inf. , ou sa traduction par M. Labey. Nous croyons cependant devoir démontrer encore les formules qui servent à exprimer le sinus et le cosinus en fonctions de l’arc , formules dont la connaissance est supposée dans la note v et qui d’aillenrs sont nécessaires pour la construction des tables. . ‘ ,
Et d’abord, supposani lerayon = i, cequi n’altère pas la généralité des résultats, on a la formule cof’ A-f-xjVi’ A= I , dont le premier membre peut être regardé comme le pro- • duit des deux facteurs imaginaires eos A i tin A et
cos A — \/ — 1 sin A. Si on multiplie ensemble deux fac- , /‘■n.'tiri teurs semblables cor A-f-v / — i «'/» A< car B-f-v/— i xmB, ■ le produit sera cos A cos B — tin A sin B -j- {^tin A «m B . ..
tin B cos A)i/ — i , et il se réduit par conséquent à la forme cos (A-f-B)-l- 1/ — I sin (A-l-B) , laquelle est semblable à chacun des facteurs. On a donc en général
(cor A-f- v/— 1 sinA) (cosB+i/ — i tinB)=cot(A+B)-i-^—itin (A-f B) et il est remarquable que la multiplication de ces sortes de quantités s’exécute en ajoutant seulement les arcs, ce qui est une propriété analogue à celle des logarithmes. On en conclura successivement
(cotA + ^—t sin A) (cot A-J-p^— i«/i A')=cosa A-f-i/— A (co.rA-f-v/— I sinA) (cora A-|-i/—ix'/i a A) =co» 3 A-f-i/'—i siniA cor A-f-i/— ifi'n A) (coi 3 A-4-i/—ix/n3A)= cox 4 Ar+-i/-i tinl^A etc.
Le premier produit est égal à (cox A + \/ — i tin A)’, lé second est égal à (eos A -\-^ — i tin A)*} et ainsi de suite.
Donc en général , n étant un nombre entier quelconque , on aura
(coxA-f-i/ — I «Il A)"=scoxn A-l-v / — i tin n A-
TiiGOiroiiijTaia.
De là résulte , en changeant le signe de i/ — t, '
, («70/ A — \/ — i tin Ky'=.cos n K. — \/' — itinnK,
et de ces deux équations qui sont une suite l'une de l’antre, on déduira les valeurs séparées de ri» n A et cor n A, saToir;
cor «A=-j (cor A-|-v'“t tmk)"-\-~{cotk — \/ — isin)"^ A+v/— I «'«A)" — ^(coj A— i/—i A)* -
xxziii. Si on vent exprimer les mêmes quantités en séries , il faudra développer par la formule du binôme,
(cor A -f- 1/ — I tin A)", ce qui donnera
' eor" A -f- -cor" 'ArûtAi/'— i -rot^ •Arin’A
— "‘^ - '"^ coir" ’Aon* Av/— — ‘‘"T* '*~ -coj*~*Aj/n*A-t-ctc.
Et cette quantité étant la valeur de cor n A-H/ — i tin rA ,
on égalera séparément la jmrlie réelle à cor n A , et la partie
imaginaire à (/— >-i tut n A. On aura donc ^
. . R«ii—i ‘ jt - R— I • /H-a » r-3 . - , . .
flWiiAsoor^A co/^’Âjin'K 1 r cor" *Arwi‘A— etc.
rM nA=iveor " ‘Arm A— *‘*~*''*" Cor” — *A rin *A -H etc.,
séries dont la loi est facile à saisir , et an moyen desquelles on trouve le sinus et le cosinus d'un arc multiple de A , d’une manière beaucoup pins prompte que par les opérations indiquées art. axiv.
XXXIV. Puisqu’on a roi A = cor A tang A ^ ces séries peuvent se mettre tout la forme
, eorisAseor A^i ta^ A-h ■ ^ tang* A — etc. J
- /« n. n — I . it-a . . N
ttmmA~eot^A{-tang-A ; — «oig’A-t-etc. 1
Soit «= — ,
on aura , en substituant cette valeur et
conservant cependant le facteur cor" A,
TRI GOROIf ETRIB.
eosi=eot
x.x—A. tang'K x.x~K.x—%k..x—Ztk. tang
}*A 'j \ etc. j
^/xtangk. x.x — A.,x—iA. tang' A \
umx=eo/'A{ ^ • — )
Pânt ces formules on peut prendre A i ▼olonU ; supposons
A très- petit, alors — ^ — sera très-peu diffèrent de l’unité,
parce que la tangente d’un arc très-petit est presqu'égalé l’arc. Cependant , tant que l'arc n’est pas nul , on a
tang A>A (i) ou > i ; on a en même temps
*>.« AM, ïfî < D.
A «n 4 * A «xt A tune A
là on Toit que le rapport — est toujours comprit entre , A
les limites 1 et — ^ — . Soit A=:o, on aura cos A=i ; donc cos A
tang A
puisque — - — est compris entre t et , il faudra qu on
A cos A
tang A „
ait exactement — j — — i. Donc en faisant A=o , on aura '
co»x=cof»A( I 1 =— - -f-etc. I
stnx=cos^K\ X 1 T — etc. 1
Il reste à Toir ce que dexient cor" A, lorsque A diminue
de plus en plus , et devient enfin aéro. Or on a — — =
^ cos' A
rcc*A=i-J-/a/ig*A;donccor A=(i-l-nwiy* A) * , donc
„ . it n.n-+-i , ,
«or"A=(i-l-ta/ig*A) *=i — tang' A-\ tang* A.— etc.
(1) AT «tt plus que AM, parce que la triangle ATC e<it aa »ecteor ACM : : ATX 4 AC : AMX 7 AC rt AT : AM.
(s) AM est plas grand que MP, i*erce que Tare MAIV e«t ptoa grand que la cnrdê Ain, ^
TBICOHOM»T«IK.
Snbitituaut au lien de n sa valeur—, on aura
