ooo 63 866 o 3 i
I.*s sinas et cosinns des arcs depuis lëro jusqu’à 5o* roiuprennent les sinus et cosinus des arcs depuis 5o* jusqu’ 100*; car on a «>1 ( 5 o“+a)=:coiï ( 5 o* — s) et cos ( 5 o*+s)= sût ( 5 o —s). Donc y dans les formules qui donnent les
valeurs de sût loo’ et cos — 100°, on pourra toujours m
supposer -—<f; de sorte que les séries seront tellement
convergentes , qu'il u’en faudra jamais calculer qu’un petit nombre de termes, sur- tout si on n’a pas besoin de beaucoup de décimales. ^ ... »
tRibbNOMBThiie. 36 ^
Si on fait succeiMTement — = — , — , — , — , — , on
> lO 10 ' lO’ lo’ lO
trouvera les résultats suivants i
tin io° = cos 90° =: o. x 5643 44S&0 4 oa 3 i
tin ao® = cos 80® = o. 80901 69943 7494?
tin , 3 o® = cor 70® = o. 4^899 04997 89647 >
tin 40® = cos 60® = o. 58778 5 a 5 aa 9a478
tin 5 o® = cor 5 o® = 0.7071067811 86548 ^ ri/i 60® = cor 40® = o. 80901 69943 74947 ii’/i 70® " — cor 3 o® =: o. 89100 65 a 4 i 88368 tin 80® = cor ao® = 0.96105 65 i 6 a 95164 tin 90® = cor 10® := o. 987G8 8340696138
sut 100® = cor o® := 1 . oooou 00000 ooooo
lesquels s’accordent avec les formules algébriques du n° aa.
On trouvera pareillement , en faisant — — , la même
valeur de tin 1*, qu’on a trouvée n® a6 ; et la grande facilité avec laquelle^on parvient à ces résultats, est une preuve de l’eicellence de la méthode.
De la construction des tables de sinus.
xxxvii. Les savants utiles 4 qui on doit la première construction des tables de sinus, ont fondé leurs calculs sur des méthodes ingénieuses , mais dont l’application était fort pénible. L’analyse a fourni depuis des méthodes beaucoup plus expéditives pour remplir cet objet ; mais les calculs étant déjà faits , ces méthodes seraient restées sans application , si l’établissement du système métrique n’eùt fourni l’occasion de calculer de nouvelles tables conformes à la division décimale du cercle.
Pour donner une idée des méthodes qu’on peut suivre dans la construction des tables, supposons qu'il s’agisse de calculer les sinus de tous les arcs de minute en minute, depuis 1 minute jusqu’à 10000 minutes ou 100 degrés; nous ferons le rayon=i, l’arc d’une minute = a, et d’abord il faudra trouver le sinus et le cosinus de l’arc a avec un grand degré d’approximation.
Le rayon étant 1 , on sait que la demi-circonférence ou Tare de xo®o= 3.141S9 a 6535 89793a; divisant ce nombre
368 TKIGOIfOMétllB. '
paraoooojonal’arcde 1 ' on<R=:o.oooi5707g63a67948g66, valeur exacte jusque dans la vingtième décimale.' Quand un are est très-petit, son sinus est sensiblement égala l’arc, ainsi on a à très-peu près $in a=ro.oooi 5 70796 3a67g 48966. Hais cette valeur est déjà en erreur à la treizième décimale, laquelle n’est que le dixième chiffre significatif. Pour en avoir une plus exacte, le moyen le plus simple est de recourir aux formules de l’art. 36 , dans lesquelles , si on
fait-î^= — î — , on aura immédiatement , par les deux ou n 10000
trois premiers termes de chaque série ,
nnu = o.oooi 5 70796 3 ao 33 5 a 5563 cof a =0.99999 99876 63994 5 a 4 oo 5 a 53 valeurs exactes jusqu'à la vingtième décimale pour le tinu* ^ et jusqu’à la vingt-quatrième pour le cosinus.
" xxxviii. Connaissant le sinus et le cosinus de l'arc d’une minute désigné par a , pour en déduire successivement les sinus de tous les arcs multiples de a , on fera dans les formules de l'art. aa,/>=j: -f-o, q—.x — a, La première et la , troisième donneront par cette substitution , et en faisant toujours R ±r 1 ,
sin ( X -1- a j = a cos a un x — - sin (x — a j
cos {^x-^a'j^.%cosncosx~cosÇx~a').
II résulte de ces fotmnles que si on a une suite d'arcs en progression^ithmétique, dont la différence soit a, leurs sinus forma^nt une suite récurrente dont l'échelle ^de relation esl a co/a, — 1, c’est-à-dire, que deux sinus consécutifs A et B étant calculés , on trouvera le suivant C, en multipliant B ]>ar a cos a , K par — 1 , et ajoutant les deux produits, ce qui donnera C=aB cos a — A. Les cosinus des mêmes arcs formeront également une suite récurrente dont l’échelle de relation est a cos a, — 1 : on aura ' donc successivement , , . ^
sin O — O -J.
sin a-=z.sina
sin aa = a cos a sin a
/i/i 3a = a cos a sin la—sin a
sin 4a =: a cos a sin 3a-/à? aa
il/? 5a = a CO.S a sin !\a—sin 3a‘
cos o:
cos ai cosiai
=cosa
z.icosacosa—i
cor 3a = a cor a CO/ aa — co/ a cos ia^t eos a cos 3a — cosia CO/ 5a = a cos a cos ^a—cos3a etc. ,
joogle
TaiGONOMiTllIE. 36(|
' XXXIX. Il ne t’agit plu* que d'exëcuter les opératwnsindiquées , en substituant les valeurs de sin a et cos a. Si on veut construire des tables de sinus avec lo décimales , il suilira de prendre les valeurs de sin u et cos ii approchées jusqu'à 1 6 décimales , savoir :
JM o = o.oooi 5 70796 3 ao 335 CO/ a:;: 0. 99999 99876 639946
mais comme cos a diffère très-peu de l’unité , il y a un moyen 4 ’abréviation dont il faut profiter. Soit ^ = a ( 1 — coj a ) r= 0.00000 00346 740110, on aura a co.v<t = a — 4 , ce qui' donnera ,
sin (x-l-a) — sin xz=.sin x — sin (x — a) — À sin x cos(x-\-a') — cojx=:co/x — COJ (x — a) — i cosx. Pour avoir le terme sin (x-{- a) il suffit d’ajouter au terme précédent Jinxla différence s^n^x■-^-a) — sin x , laquelle Sera toujours très-petite: or cette différence est, suivant la formule, égale à une différence semblable d^a calculée sûix — sin (.r — a), moins le produit de j<y?x par le nombre constant k. Cette multiplication est donc la seule opération un peu longue qu’on ait à faire pour déduire un sinus des deux précédents; mais il faut observer i" que l’on n’a besoin de connaître le pro<lnit que jnsqu’à la seizième décimale , ce qui donnera fort peu de chiffres à calculer ; a” que ces multiplications peuvent être abrégées beaucoup en formant d’avance les produits du nombre constant 346740110 'par I , a , 3 jusqu^à 9 ; car , par ce moyen , on aura immédiatement les produits partiels qui résultent des différents chiffres du multiplicateur sin x , et il ne restera plus qu’à faire l’addition de ces produits, en se bornant toujours à la seizième décimale.
Les mêmes procédés devront être suivis dans le calcul des cosinus; et, lorsqu’on aura prolongé l’une et l’autre série jusqu’à 5 o°, la table sera complète.
XL. Il est nécessaire , nous le répétons , de calculer les sinus avec 16 décimales, c’est-àidire avec cinq ou six dé-, ; cimales de plus qu’on n’en veut avoir réellement , afin d’être assuré que les erreurs , qui peuvent se multiplier dans le cours de Sooo opérations , n’influeront cependant
5^0 ÿaloüAUMiitniS.
pas sur la dixième décimale des derniers résultats. Le calcul (ait, on retranchera les décimales saperflnes et on ne conserTera dans la table que dix décimales.
Au reste, quand il s’agit d'exécuter tant de calculs, on doit chercher à vérifier les résultats aussi souvent qu'il est possible. Dans l’exemple que nous avons apporté d’une table calculée de. minute en minute, il serait nécessaire de calculer préalablement les sinus et cosinus de degré en degré, ce qui fera , de loo termes en loo termes, une vérlfi-. cation très-utile. Ur, pour calculer les sinus de degré en ! degré , on a les formules et les valeurs qui suivent :
tin (x-4- I*-) — x—sin(^x~\") — htinx >. CO» ( jr-(- \") — cos x-=.cos X — co»(x— i*) — Aco»x sin i* = o. 01670 73173 iibao 676 CO» i* = o..g9987 663 x 4 81660 699 .
A=^a(i —co» i*)±=o. 000x4 67360 36678 8ox » -
I>es sinus calculés de degré en degré se véri&eront euxméines de dix en dix par les valeurs déjà connues de»ô» 10*, sin Xü*,etc. Enfin lorsque la table entière est construite, on' peut encore la vérifier delant de manières qu’on vaudra par l’équation
»Mi(ioo'~x)-hn'/i(xo*— x)-f-»wj(ao*-M')=»/i»(6o“— x)-t-j/n(6o*+-x^
xu. Les sinus, tels qu’ils résultent des calculs que nous • venons d’indiquer, sont exprimés en parties du rayon , et on les appelle sinus naturels ; mais on a reconnu dans Ig pratique , qu’il y a beaucoup d’avantage à se servir des loga* rithmes des sinus , au lieu des sinus eux-mémes ; en conséquence la plupart des tables ne contiennent point les sinus naturels, mais seulement leurs logarithmes. On conçoit que les sinus étant calculés , il a été facile d’en trouver les logarithmes; mais commela supposition du rayon=i rendrait négatifs tous les logarithmes des sinus , on a préféré de prendre le rayron = 10000000000, c’est-à-dire, qu’on a mul- -• tiplié par 10000000000 tous les sinus trouvés dans la supposition du rayon = i. Par ce moyen le rayon ou sinus de 100% qui se rencontre fréquemment dans les calculs , a - 'pour logarithme 10 unités, et il faudrait que les angles fussent beaucoup plus petits qu'on ne les rencontre daus I4
-> tlilCOXOM^tBL». iyt
pratique , pour que leurs sinus eussent des logarithmes négatifs.
Les logarithmes des sinus étant tronrés , on en déduit trés-aisémenl les logarithmes dès tangentes par de simples
R stn X
soustractions; car, puisqu ou ttUBgxz
•, il s'ensuit
cos X
log. tang x—to-^-log. sin x — tog. eos x. Quant aux logarithmes des sécantes , ils se trouveraient d'une manière
encore plus simple, à l'aide de l'équation sec. x^
cos X'
C'est parce qu'on peut ; suppléer si facilement qu’on n’insère dans les tables que les logarithmes des sinus et ceux des tangente.s. ^
11 resterait à expliquer l'espèce d’interpolation dont on se sert, soit pour trouver les logaritliiqes des sinus et tangentes des arcs qui contiennent des fractions de minutes soit pour trouver l’arc qui répond à un logarithme donné de sinus ou de tangente , lorsque ce logarithme tombe entre deux logarithmes des tables. Mais pour ces détails on ne peut mieux faire que de consulter l'explication dont les ' tables sont toujours accompagnées.
Principes pour la résolution des triangles rectilignes.
xt,M. Dans tout triangle rectangle le rayon' est au sinus d’un des angles aigus, comme l’hyr poténuse est au côté opposé à cet angle. •-
. Soit ABC le triangle proposé rectangle en A ; du fig. s. , point C, comme centre, et dti rajon CD, égal au rayon des ubles, décrives l'arc DE qui sera la mesure de l’angle C ; abaissez sur CD la perpendiculaire EF qui sera le sinus de l’angle C. I*es triangles CBA , . ‘ CKF sont semblables et donnent la proportion CE,
EF :: CB ; BA ; donc , ^ x,
R:.i«C::BC:BA. • ’ ‘ ' .
. -. ‘sr . - •.
TBIGONOMETBIX.
xT.rn. Dans tout triangle rectangle le rayon est h la tangente d’un des angles aigus, comme le côté adjacent à cet angle est au côté opposé.
Ayant décrit l’arc DE^ comme dans l’article précédent, élevez sur CD*Li perpendiculaire DG qui sera la tangente de l’angle G. Par les triangles semblables CDG, CAB, on aura la proportion CD : DG :: CA ; AB; donc
R : tan g C :: CA : AB.
xi.iv. Dans un triangle rectiligne quelconque les sinus des angles sont comme les côtés opposés.
Soit ABC le triangle proposé, AD la perpendiculaire abaissée du sommet A sur !e côté opposé BG il pourra arriver deux cas :
I** Si la perpendiculaire tombe au - dedans du triangle ABC , les triangles rectangles ABD , ACD donneront, suivant l’art. xLii,
R : sin B AB : AD R ; sin C :: AC : AD.
Dans ces deux proportions , les extrêmes étant égaux, on pourra, avec les moyens, faire la proportion
sin C ; sin B AB : AC.
a° Si la perpendiculaire tombe hors du triangle ABC , les triangles rectangles ABD , ACD donneront encore les proportions
R : sin ABD AB : AD R : sin C :: AC : AD:
d’oii l’on déduit sin Cl sin .\BD *; AB : AC. Mais l’angle ABD est supplément de ABC ou B ; donc sin ABD = ii>i B; donc on a encore
sin C : sin B AB : AC.
xi.v. Dans tout triangle rectiligne le cosituts d'un angle est au rayon , comme la somme des quarrés des côtés qui mmprennent cet angle
«BCTILIOH X. 373
moins le quarré du troisième côté , est au double rectangle des deux premiers côtés; c'est-à-dire qu’on a :
COJ B : R :: ÂbV BC— Âc‘: a AB X BC, ou cos B='
AB -f- BC — AC '
^ a AB X BC ■
Soit encore abaissée du sommet A la perpendiculaire AD sur le côté BC :
i°Sicetteperpendiculairetombeau-dedansdutrian* * ^
gle , on aura* AC = AB -f- BC — aBC X BD; donc BD
AB-hBC— AC dans le triangle rectangle ABD, .
d BC
on a R : JM BAD : : AB : BD ; d’ailleurs l’angle BAD étant complément de B, on a jwBAD=:coj B;. donc R X BD
COJ B:
, ou en substituant la valeur de BD, ÂB + BC — ÂC*
AB
COJ B = R X
a AB X BC
2® Si la perpendiculaire tombe au-debors du triangle, on aura AC=AB + BC + iBCx BD*;doncBD ÂC — ÂB — BC‘
a BC
Mais dans le triangle rectangle R X BD
BAD, on atoujours sin BAD, oucoj ABD — — -j ^ — » et l'angle ABD, étant supplément de ABC ou B, on
a* COJ B = — COJ ABD =
